Seja f(x) um polinômio de grau k. Provar que existe polinômio F(x) de grau k+1, tal que,para todo n temos
f(1)+f(2)+cdots+fn=F(n)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um polinômio f(x) de grau k, a soma parcial
S(n)=f(1)+f(2)+cdots+f(n)
é também um polinômio F(n) de grau k+1. Vamos usar como ferramenta a base de coeficientes binomiais e uma identidade de soma de binomiais.

Passo 2

É conhecido que os polinômios
x choose 0 ,; x choose 1 ,;dots,; x choose k
formam uma base do espaço de polinômios de grau ≤ k. Então podemos escrever
f(x)=sumj=0^k aj,x choose j
para certos coeficientes aj. Cada termo xchoose j é um polinômio de grau j, logo f tem grau k se akneq0.

Passo 3

Usamos a identidade combinatória, válida para inteiros n,j>=0:
sumi=0^n i choose j = n+1 choose j+1
Daí, para a soma que nos interessa, temos
sumi=1^n i choose j = sumi=0^n i choose j - 0 choose j = n+1 choose j+1 - 1,&j=00,&j>=1
Em particular, para j=0 isso dá n, e para j>=1 n+1choose j+1.

Passo 4

Agora montamos
F(n)=sumi=1^nf(i)=sumj=0^kajsumi=1^nichoose j = a0,n + sumj=1^kaj,n+1choose j+1
Isso mostra que F(n) é combinação linear de polinômios n e n+1choose j+1, cada um de grau ≤ k+1, e o termo de maior grau vem de j=k, ou seja grau k+1. Portanto F é um polinômio de grau k+1 satisfazendo
F(n)=sumi=1^n f(i).

Resposta

Existe de fato um polinômio F(n) de grau k+1, dado por
F(n)=a0,n + sumj=1^kaj,n+1choose j+1,
tal que
F(n)=f(1)+f(2)+cdots+f(n).

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