Seja
um polinômio de grau
. Provar que existe polinômio
de grau
, tal que,para todo
temos
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um polinômio
de grau
, a soma parcial
é também um polinômio
Passo 2
É conhecido que os polinômios
formam uma base do espaço de polinômios de grau ≤
. Então podemos escrever
para certos coeficientes
. Cada termo
é um polinômio de grau
, logo
tem grau
se
.
Passo 3
Usamos a identidade combinatória, válida para inteiros
:
Daí, para a soma que nos interessa, temos
Em particular, para
isso dá
, e para
dá
.
Passo 4
Agora montamos
Isso mostra que
é combinação linear de polinômios
e
, cada um de grau ≤
, e o termo de maior grau vem de
, ou seja grau
. Portanto
é um polinômio de grau
satisfazendo
.
Resposta
Existe de fato um polinômio
de grau
, dado por
tal que
.