Seja
uma função contínua em
para cada
e
, com
. Prove que
coincide com um polinômio de grau
em
.
Passo 1
Temos uma função contínua f em [a,b] que satisfaz para todo x₀ e h>0 com [x₀, x₀+(n+1)h]⊂[a,b] a relação de diferença finita de ordem n+1:
O conteúdo é o estudo de diferenças finitas e a implicação de que a função é um polinômio de grau ≤n. Vamos usar indução sobre n.
Passo 2
Caso base n=0: a condição é
para todo x₀ e h>0, logo f é constante em [a,b], isto é, um polinômio de grau 0.
Passo 3
Passo de indução: suponha válido para n−1. Para n, da hipótese
onde
ou seja
para todo x,h. Logo
Passo 4
Observação importante: para o monômio
vale
Defina
Então
Por hipótese de indução, como
Passo 5
Concluímos
onde o coeficiente
com
de grau ≤n−1. Portanto f é polinômio de grau ≤n em [a,b].
Resposta
f(x) coincide com um polinômio de grau no máximo n em [a,b].