Seja f(x) uma função contínua em [a, b] e
sumj=0^n+1(-1)^n+1-jbinomn+1j f(x0+k h)=0
para cada x0 e h>0, com f(x). Prove que n coincide com um polinômio de grau [a, b] em .

Passo 1

Temos uma função contínua f em [a,b] que satisfaz para todo x₀ e h>0 com [x₀, x₀+(n+1)h]⊂[a,b] a relação de diferença finita de ordem n+1:
sumj=0^n+1(-1)^n+1-jbinomn+1jf(x₀+jh)=0
O conteúdo é o estudo de diferenças finitas e a implicação de que a função é um polinômio de grau ≤n. Vamos usar indução sobre n.

Passo 2

Caso base n=0: a condição é
f(x₀+h)-f(x₀)=0
para todo x₀ e h>0, logo f é constante em [a,b], isto é, um polinômio de grau 0.

Passo 3

Passo de indução: suponha válido para n−1. Para n, da hipótese
De
onde De, temos
De
ou seja
De
para todo x,h. Logo De é constante em x; denote-se essa constante por C(h).

Passo 4

Observação importante: para o monômio x^n vale
De
Defina
P(x)=f(x)-C(h)n!,h^n,x^n
Então
De
Por hipótese de indução, como De, segue que P(x) é polinômio de grau ≤n−1.

Passo 5

Concluímos
f(x)=C(h)n!,h^n,x^n+P(x),
onde o coeficiente A(h)=C(h)/(n!,h^n) não depende de h (pois mudando h obteríamos duas representações polinomiais iguais numa faixa, forçando o mesmo coeficiente). Logo existe constante A tal que
f(x)=A,x^n+Q(x),
com Q(x) de grau ≤n−1. Portanto f é polinômio de grau ≤n em [a,b].

Resposta

f(x) coincide com um polinômio de grau no máximo n em [a,b].

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