Calcular o valor da expressão:
S=(2006)^3-(1005)^3-(1001)^3(2006)(1005)(1001)

Passo 1

Beleza, temos que calcular
S = 2006^3 - 1005^3 - 1001^32006 times 1005 times 1001
Isso é um exercício de álgebra básica envolvendo potências e fatoração (mais precisamente a expansão de um cubo e alguma simplificação). Vamos usar a identidade de cubo de soma:
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
e também observações simples para cancelar termos e chegar ao resultado.

Passo 2

Perceba que b = 1005, c = 1001, . Se chamarmos
(b+c)^3 - b^3 - c^3
então (b+c)^3 = b^3 + 3b^2c + 3bc^2 + c^3 e o numerador vira
(b^3 + 3b^2c + 3bc^2 + c^3) - b^3 - c^3 = 3b^2c + 3bc^2
Agora usamos a expansão do cubo de soma:
Substituindo na expressão do numerador:

Passo 3

Repare que numerador = 3 cdot b cdot c cdot (b+c) = 3 times 1005 times 1001 times 2006 . Como S = numerador2006 times 1005 times 1001 = 3 times 1005 times 1001 times 20062006 times 1005 times 1001 , temos
Então

Passo 4

É só cancelar fator a fator no numerador e denominador:
S = 3

Resposta

S = 3

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