(UFC) Encontre dois inteiros positivos entre 60 e 70 que dividem 2^48-1.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Encontre dois inteiros positivos entre 60 e 70 que dividem
2^48 - 1
O conteúdo da matéria é fatoração de potências (diferença de quadrados e soma/diferença de potências) e busca de divisores. Vamos usar a ideia de que
a^n - b^n = (a^n/2 - b^n/2)(a^n/2 + b^n/2)
e também fatorar passo a passo até achar divisores entre 60 e 70.

Passo 2

Começando a fatorar:
2^48 - 1 = (2^24 - 1)(2^24 + 1)
Aqui usamos a diferença de quadrados: , com e .

Passo 3

Agora fatoramos de novo a parte 2^24 - 1 = (2^12 - 1)(2^12 + 1) :
De novo diferença de quadrados, com .

Passo 4

Mais um passo em 2^12 - 1 = (2^6 - 1)(2^6 + 1) = (64 - 1)(64 + 1) = 63 cdot 65 :
Repare que . Então já temos dois fatores que são exatamente 63 e 65.

Passo 5

Os outros fatores seriam e , mas esses são maiores que 70. Logo, os únicos divisores entre 60 e 70 aparecem na última quebra.

Resposta

Os dois inteiros são 63 e 65.

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