(CANADÁ) Ache os reais x, y in R^+com: lraizx+2 cdot raizy=9 x-4 y=9.

Passo 1

Beleza, aqui o que a gente tem é um sistema de duas equações com incógnitas positivas raizx+2raizy=9x-4y=9 e :

Conteúdo que vamos usar: propriedades de radicais, substituição de variáveis e fatoração de diferença de quadrados. Ou seja, vamos trocar e por variáveis novas, resolver o sistema “linearizado” e depois voltar pra e .

Passo 2

Primeiro truque: define
a = raizx, b = raizy
e . Isso ajuda a gente a eliminar a raiz e trabalhar com expressões polinomiais.

Passo 3

Substituindo no sistema, fica:
  1. a^2 - 4b^2 = (a-2b),(a+2b) (porque )
  2. (porque )
Repara que é uma diferença de quadrados, que fatoramos como

Passo 4

Usando essa fatoração na equação 2:
(a-2b),(a+2b) = 9
Mas da equação 1 a gente já sabe que (a-2b)cdot 9 = 9 longrightarrow a - 2b = 99 = 1 . Então substitui ali:
a+2b=9a-2b=1
Agora temos um sistema linear em e :
.
Bastam soma e subtração:
  • Somando as duas: .
  • Aí, de : .

Passo 5

Voltando para x = a^2 = 5^2 = 25, y = b^2 = 2^2 = 4 e :

Resposta

.

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