Calcule

Passo 1

Resumo da questão: a gente precisa achar

Conteúdo envolvido: limites de tipo exponencial e definição do número .
O que vamos usar:
  1. a definição básica
    ,
  2. a generalização
    ,
  3. propriedade de limite de produto (lim AB = lim A · lim B), e
  4. limites simples do tipo .

Passo 2

Primeira jogada: separar a potência pra ficar mais fácil de aplicar a definição de l(1+tfrac2xr)^x+1 =l(1+tfrac2xr)^x;times;l(1+tfrac2xr)^1 =l(1+tfrac2xr)^x;times;l(1+tfrac2xr) .
Assim viram dois fatores: um é e o outro é .

Passo 3

Lembrando a definição de e=limntoinftyl(1+tfrac1nr)^n :
limxtoinftyl(1+tfrac2xr)^x=e^2
Logo, trocando por (ou seja, e ), fica
Isso é a generalização direta: .

Passo 4

O outro fator é mais tranquilo:
limxtoinftyl(1+tfrac2xr)=1,
porque quando .

Passo 5

Como limite de produto é produto dos limites, temos
limxtoinftyl(1+tfrac2xr)^x+1 =l(limxtoinfty(1+tfrac2x)^xr)cdotl(limxtoinfty(1+tfrac2x)r) =e^2cdot1=e^2

Resposta

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