a) Calcule e^3,1 a apartir de um polinômio de segundo grau e de terceiro grau.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente calcular
e^3,1
usando dois polinômios de Taylor (Maclaurin) de grau 2 e de grau 3.
Conteúdo: séries de Taylor/Maclaurin para a função exponencial.
O que a gente vai precisar:
  1. Saber que e^x = sumn=0^infty x^nn!
  2. Truncar essa série nos termos até (polinômio de grau 2) e até (polinômio de grau 3).
  3. Substituir nesses polinômios e calcular.

Passo 2

Primeiro, escrevemos os polinômios de Maclaurin para P2(x) = 1 + x + x^22! :
  • Grau 2 (truncando depois de P3(x) = 1 + x + x^22! + x^33! ):
  • Grau 3 (truncando depois de ):
Esses polinômios vêm de pegar a fórmula geral

e parar no ou .

Passo 3

Agora, vamos calcular P2(3,1) = 1 + 3,1 + 4,805 = 8,905 .
  1. Calcular cada termo:
  2. Somando tudo:

Passo 4

Agora x^3 = (3,1)^3 = 29,791, 3! = 6, 29,7916 approx 4,96517 .
  1. Já temos P3(3,1) = 1 + 3,1 + 4,805 + 4,96517 approx 13,87017
  2. Falta o termo :
  3. Somando tudo:

Resposta

Usando polinômio de Taylor (Maclaurin) em :
  • Grau 2:
  • Grau 3:

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