Considere os seguintes pontos (-2,2),(-1,3),(0,5),(1,7) e (2,11).
Altere o sinal de qualquer ordenada de um dos pontos e obtenha o polinômio interpolador. Verifique que o polinômio interpolador alterou e dê uma justificativa para tal mudança.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz: “Considere os pontos e . Altere o sinal de qualquer ordenada de um dos pontos e obtenha o polinômio interpolador. Verifique que o polinômio mudou e justifique o porquê.”
Conteúdo: interpolação polinomial pelo método de Newton (diferenças finitas).
O que precisamos:
  1. Montar a tabela de diferenças finitas para os 5 pontos.
  2. Usar a fórmula de Newton para o polinômio de grau ≤4.
  3. Repetir tudo depois de trocar o sinal de um y e comparar.

Passo 2

Antes de calcular, vamos entender a teoria de diferenças finitas e a fórmula de Newton:
  • Chamamos P(x)=y0+De.
  • As diferenças primeiras são
    .
  • As segundas são
    , e assim por diante.
  • O polinômio de Newton fica:
Vamos montar a tabela original.
Tabela original (x vs y):
x: -2 -1 0 1 2
y: 2 3 5 7 11
Δy: 1 2 2 4
Δ²y: 1 0 2
Δ³y: -1 2
Δ⁴y: 3
Logo,
.

Passo 3

Agora escrevemos P(x) = 2 +1(x+2)1! +1(x+2)(x+1)2! -1(x+2)(x+1)x3! +3(x+2)(x+1)x(x-1)4! em forma de Newton:
P(x)=tfrac18x^4+tfrac112x^3-tfrac18x^2+tfrac2312x+5
Se quiser expandir, dá:

Passo 4

Agora escolhi inverter o sinal de Q(x) = 2 +1(x+2)1! +1(x+2)(x+1)2! -1(x+2)(x+1)x3! -19(x+2)(x+1)x(x-1)4! no ponto Q(x)= -tfrac1112(x+2)(x+1)x(x-1)+[mesmos demais termos de P(x)] : de para .
Nova tabela de y: 2, 3, 5, 7, −11
Recalculando as diferenças:
Δy: 1, 2, 2, −18
Δ²y: 1, 0, −20
Δ³y: −1, −20
Δ⁴y: −19
Então
.
O novo polinômio é
Em forma expandida:

Passo 5

Justificativa: o polinômio interpolador é único para um dado conjunto de pontos. Se eu mexo num , a tabela de diferenças muda e, consequentemente, o coeficiente de (a parte de quarta diferença) muda. Ou seja, o polinômio inteiro muda.

Resposta

Polinômio original:
P(x)=2 + (x+2) + tfrac(x+2)(x+1)2 - tfrac(x+2)(x+1)x6 + tfrac3,(x+2)(x+1)x(x-1)24
ou, expandido,
P(x)=tfrac18x^4+tfrac112x^3-tfrac18x^2+tfrac2312x+5
Polinômio após inverter Q(x)=2 + (x+2) + tfrac(x+2)(x+1)2 - tfrac(x+2)(x+1)x6 - tfrac19,(x+2)(x+1)x(x-1)24 :
Ele muda porque a quarta diferença passa de para , e esse coeficiente entra direto na parcela de grau 4 da fórmula de Newton.

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