Considere os seguintes pontos
e
.
Altere o sinal de qualquer ordenada de um dos pontos e obtenha o polinômio interpolador. Verifique que o polinômio interpolador alterou e dê uma justificativa para tal mudança.
Altere o sinal de qualquer ordenada de um dos pontos e obtenha o polinômio interpolador. Verifique que o polinômio interpolador alterou e dê uma justificativa para tal mudança.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz: “Considere os pontos
e
. Altere o sinal de qualquer ordenada de um dos pontos e obtenha o polinômio interpolador. Verifique que o polinômio mudou e justifique o porquê.”
Conteúdo: interpolação polinomial pelo método de Newton (diferenças finitas).
O que precisamos:
Conteúdo: interpolação polinomial pelo método de Newton (diferenças finitas).
O que precisamos:
- Montar a tabela de diferenças finitas para os 5 pontos.
- Usar a fórmula de Newton para o polinômio de grau ≤4.
- Repetir tudo depois de trocar o sinal de um y e comparar.
Passo 2
Antes de calcular, vamos entender a teoria de diferenças finitas e a fórmula de Newton:
- Chamamos
. - As diferenças primeiras são
. - As segundas são
, e assim por diante. - O polinômio de Newton fica:
Vamos montar a tabela original.
Tabela original (x vs y):
x: -2 -1 0 1 2
y: 2 3 5 7 11
Δy: 1 2 2 4
Δ²y: 1 0 2
Δ³y: -1 2
Δ⁴y: 3
x: -2 -1 0 1 2
y: 2 3 5 7 11
Δy: 1 2 2 4
Δ²y: 1 0 2
Δ³y: -1 2
Δ⁴y: 3
Logo,
.
Passo 3
Agora escrevemos
em forma de Newton:
Se quiser expandir, dá:
Passo 4
Agora escolhi inverter o sinal de
no ponto
: de
para
.
Nova tabela de y: 2, 3, 5, 7, −11
Recalculando as diferenças:
Δy: 1, 2, 2, −18
Δ²y: 1, 0, −20
Δ³y: −1, −20
Δ⁴y: −19
Então
.
O novo polinômio é
Nova tabela de y: 2, 3, 5, 7, −11
Recalculando as diferenças:
Δy: 1, 2, 2, −18
Δ²y: 1, 0, −20
Δ³y: −1, −20
Δ⁴y: −19
Então
O novo polinômio
Em forma expandida:
Passo 5
Justificativa: o polinômio interpolador é único para um dado conjunto de pontos. Se eu mexo num
, a tabela de diferenças muda e, consequentemente, o coeficiente de
(a parte de quarta diferença) muda. Ou seja, o polinômio inteiro muda.
Resposta
Polinômio original:
ou, expandido,
Polinômio após inverter
:
Ele muda porque a quarta diferença
passa de
para
, e esse coeficiente entra direto na parcela de grau 4 da fórmula de Newton.