Considere a função tabelada
x 1 3 4 5
g(x) 0 6 24 60
Determine o polinômio interpolador para g na forma de Newton.

Passo 1

Então, a questão pede pra gente achar o polinômio interpolador de Newton que passa pelos pontos abaixo:
x: 1, 3, 4, 5
g(x): 0, 6, 24, 60
Conteúdo: interpolação polinomial pelo método de Newton.
O que vamos precisar: construir as diferenças divididas de 1ª, 2ª e 3ª ordem e depois montar o polinômio na forma de Newton.

Passo 2

Primeiro, anotamos os valores iniciais como diferenças de 0ª ordem (são só os y’s):
c|c xi & f[xi] hline 1 & 0 3 & 6 4 & 24 5 & 60

Passo 3

Agora calculamos as diferenças divididas de 1ª ordem, que são
f[xi,xi+1]=f[xi+1]-f[xi]xi+1-xi
Para os nossos pontos:
f[1,3]=6-03-1=3, f[3,4]=24-64-3=18, f[4,5]=60-245-4=36

Passo 4

Agora a 2ª ordem, usando
f[xi,xi+1,xi+2]=f[xi+1,xi+2]-f[xi,xi+1]xi+2-xi
Temos:
f[1,3,4]=18-34-1=153=5, f[3,4,5]=36-185-3=182=9

Passo 5

Por fim, a diferença dividida de 3ª ordem:
f[1,3,4,5]=f[3,4,5]-f[1,3,4]5-1 =9-54=1

Passo 6

A forma de Newton é
P(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+dots
Aqui x0=1, x1=3, x2=4, x3=5. Então:
P(x)=0 +3,(x-1) +5,(x-1)(x-3) +1,(x-1)(x-3)(x-4)

Resposta

boxedP(x)=3(x-1)+5(x-1)(x-3)+(x-1)(x-3)(x-4)

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