Calcule e apresente em 4 iterações os valores das estimativas para a solução do seguinte sistema de equações algébricas lineares (1,0 pontos)
\left\{\begin{array}{c} 4 x_{1}-x_{2}=1 \\\\ -x_{1}+4 x_{2}-x_{3}=1 \\\\ -x_{2}+4 x_{3}-x_{4}=1 \\\\ -x_{3}+4 x_{4}=1 \end{array}\right.
empregando o método de Gauss-Jacobi. Utilize como estimativa inicial x_{1}^{(0)}=x_{2}^{(0)}=x_{3}^{(0)}= x_{4}^{(0)}=1.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear abaixo e pede que se apliquem 4 iterações do método de Gauss–Jacobi, partindo da estimativa inicial x_{1}^{(0)}=x_{2}^{(0)}=x_{3}^{(0)}=x_{4}^{(0)}=1.
\left\{\begin{array}{r} 4x_{1}-x_{2}=1,\\[4pt] -x_{1}+4x_{2}-x_{3}=1,\\[4pt] -x_{2}+4x_{3}-x_{4}=1,\\[4pt] -x_{3}+4x_{4}=1. \end{array}\right.
Do enunciado temos:
  • Vetor de incógnitas \, (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^\top.
  • Vetor de termos independentes implícito em cada equação igual a 1.
  • Estimativa inicial \,x^{(0)}=(1,1,1,1)^\top.
  • Solicitação: apresentar os valores das estimativas após as iterações k=1,2,3,4 usando Gauss–Jacobi.]

Passo 2

O que é o método de Gauss–Jacobi (explicação didática e fórmula):
  • A ideia é isolar cada variável x_i na sua equação e, em cada iteração k+1, calcular x_i^{(k+1)} usando exclusivamente os valores da iteração anterior x_j^{(k)} para j\ne i. Ou seja, todas as componentes são atualizadas “em paralelo”.
  • Em forma matricial isso vem de escrever A x = b com A=D+R, onde D é a diagonal de A e R o restante. A iteração de Jacobi é
x^{(k+1)} = D^{-1}\bigl(b - R\,x^{(k)}\bigr).
  • Aqui x^{(k)} é o vetor de aproximações na iteração k. Cada componente x_i^{(k+1)} usa apenas x_j^{(k)} (valores já calculados na iteração anterior), o que é a diferença chave para Gauss–Seidel.
  • Condição prática de convergência (útil para confiar no método): se A for estritamente diagonalmente dominante por linhas ( |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para cada linha), então Jacobi converge. Para este sistema a diagonal tem 4 em cada linha e as somas dos módulos das outras entradas por linha são 1 ou 2, logo a desigualdade é satisfeita — então o método converge.

Passo 3

Isolando as incógnitas em cada equação (passo obrigatório para montar as fórmulas iterativas):
\begin{aligned} 4x_{1}-x_{2}&=1 &\Rightarrow\quad x_{1}&=\dfrac{1+x_{2}}{4},\\[6pt] - x_{1}+4x_{2}-x_{3}&=1 &\Rightarrow\quad x_{2}&=\dfrac{1+x_{1}+x_{3}}{4},\\[6pt] - x_{2}+4x_{3}-x_{4}&=1 &\Rightarrow\quad x_{3}&=\dfrac{1+x_{2}+x_{4}}{4},\\[6pt] - x_{3}+4x_{4}&=1 &\Rightarrow\quad x_{4}&=\dfrac{1+x_{3}}{4}. \end{aligned}
Regra de iteração de Gauss–Jacobi para este sistema (substituindo valores da iteração anterior):
\begin{aligned} x_{1}^{(k+1)}&=\dfrac{1+x_{2}^{(k)}}{4},\\[6pt] x_{2}^{(k+1)}&=\dfrac{1+x_{1}^{(k)}+x_{3}^{(k)}}{4},\\[6pt] x_{3}^{(k+1)}&=\dfrac{1+x_{2}^{(k)}+x_{4}^{(k)}}{4},\\[6pt] x_{4}^{(k+1)}&=\dfrac{1+x_{3}^{(k)}}{4}. \end{aligned}
Explicando a notação: x_{i}^{(k)} é a aproximação da i-ésima variável na iteração k. Para obter x^{(1)} usa-se x^{(0)}, para x^{(2)} usa-se x^{(1)}, e assim por diante.]

Passo 4

Cálculo da iteração k=1 a partir de x^{(0)}=(1,1,1,1)^\top. Substituir os valores de x^{(0)} nas fórmulas:
\begin{aligned} x_{1}^{(1)}&=\dfrac{1+x_{2}^{(0)}}{4}=\dfrac{1+1}{4}=\dfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}=0,5,\\[6pt] x_{2}^{(1)}&=\dfrac{1+x_{1}^{(0)}+x_{3}^{(0)}}{4}=\dfrac{1+1+1}{4}=\dfrac{3}{4}=0,75,\\[6pt] x_{3}^{(1)}&=\dfrac{1+x_{2}^{(0)}+x_{4}^{(0)}}{4}=\dfrac{1+1+1}{4}=\dfrac{3}{4}=0,75,\\[6pt] x_{4}^{(1)}&=\dfrac{1+x_{3}^{(0)}}{4}=\dfrac{1+1}{4}=\dfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}=0,5. \end{aligned}
Portanto a aproximação após a primeira iteração é
x^{(1)}=\begin{pmatrix}0,5\\[2pt]0,75\\[2pt]0,75\\[2pt]0,5\end{pmatrix}.]

Passo 5

Cálculo das iterações k=2 e k=3, sempre usando os valores da iteração anterior (Jacobi paralelo).
Iteração k=2 (usar x^{(1)}):
\begin{aligned} x_{1}^{(2)}&=\dfrac{1+x_{2}^{(1)}}{4}=\dfrac{1+0,75}{4}=\dfrac{1,75}{4}=0,4375,\\[6pt] x_{2}^{(2)}&=\dfrac{1+x_{1}^{(1)}+x_{3}^{(1)}}{4}=\dfrac{1+0,5+0,75}{4}=\dfrac{2,25}{4}=0,5625,\\[6pt] x_{3}^{(2)}&=\dfrac{1+x_{2}^{(1)}+x_{4}^{(1)}}{4}=\dfrac{1+0,75+0,5}{4}=\dfrac{2,25}{4}=0,5625,\\[6pt] x_{4}^{(2)}&=\dfrac{1+x_{3}^{(1)}}{4}=\dfrac{1+0,75}{4}=\dfrac{1,75}{4}=0,4375. \end{aligned}
Logo
x^{(2)}=\begin{pmatrix}0,4375\\[2pt]0,5625\\[2pt]0,5625\\[2pt]0,4375\end{pmatrix}.
Iteração k=3 (usar x^{(2)}):
\begin{aligned} x_{1}^{(3)}&=\dfrac{1+x_{2}^{(2)}}{4}=\dfrac{1+0,5625}{4}=\dfrac{1,5625}{4}=0,390625,\\[6pt] x_{2}^{(3)}&=\dfrac{1+x_{1}^{(2)}+x_{3}^{(2)}}{4}=\dfrac{1+0,4375+0,5625}{4}=\dfrac{2,0}{4}=0,5,\\[6pt] x_{3}^{(3)}&=\dfrac{1+x_{2}^{(2)}+x_{4}^{(2)}}{4}=\dfrac{1+0,5625+0,4375}{4}=\dfrac{2,0}{4}=0,5,\\[6pt] x_{4}^{(3)}&=\dfrac{1+x_{3}^{(2)}}{4}=\dfrac{1+0,5625}{4}=\dfrac{1,5625}{4}=0,390625. \end{aligned}
Logo
x^{(3)}=\begin{pmatrix}0,390625\\[2pt]0,5\\[2pt]0,5\\[2pt]0,390625\end{pmatrix}.]

Passo 6

Cálculo da iteração k=4 (usar x^{(3)}) e observação final curta:
\begin{aligned} x_{1}^{(4)}&=\dfrac{1+x_{2}^{(3)}}{4}=\dfrac{1+0,5}{4}=\dfrac{1,5}{4}=0,375,\\[6pt] x_{2}^{(4)}&=\dfrac{1+x_{1}^{(3)}+x_{3}^{(3)}}{4}=\dfrac{1+0,390625+0,5}{4}=\dfrac{1,890625}{4}=0,47265625,\\[6pt] x_{3}^{(4)}&=\dfrac{1+x_{2}^{(3)}+x_{4}^{(3)}}{4}=\dfrac{1+0,5+0,390625}{4}=\dfrac{1,890625}{4}=0,47265625,\\[6pt] x_{4}^{(4)}&=\dfrac{1+x_{3}^{(3)}}{4}=\dfrac{1+0,5}{4}=\dfrac{1,5}{4}=0,375. \end{aligned}
Portanto após a quarta iteração:
x^{(4)}=\begin{pmatrix}0,375\\[2pt]0,47265625\\[2pt]0,47265625\\[2pt]0,375\end{pmatrix}.
Observação amigável: dá para ver que os valores vão se aproximando de uma solução centralizada entre 0,375 e 0,5; devido à diagonal dominante, o processo converge, e com mais iterações essas aproximações melhorarão cada vez mais.]

Resposta

\displaystyle x^{(1)}=\begin{pmatrix}0,5\\[2pt]0,75\\[2pt]0,75\\[2pt]0,5\end{pmatrix}
\displaystyle x^{(2)}=\begin{pmatrix}0,4375\\[2pt]0,5625\\[2pt]0,5625\\[2pt]0,4375\end{pmatrix}
\displaystyle x^{(3)}=\begin{pmatrix}0,390625\\[2pt]0,5\\[2pt]0,5\\[2pt]0,390625\end{pmatrix}
\displaystyle x^{(4)}=\begin{pmatrix}0,375\\[2pt]0,47265625\\[2pt]0,47265625\\[2pt]0,375\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados