empregando o método de Gauss-Jacobi. Utilize como estimativa inicial x_{1}^{(0)}=x_{2}^{(0)}=x_{3}^{(0)}= x_{4}^{(0)}=1.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear abaixo e pede que se apliquem 4 iterações do método de Gauss–Jacobi, partindo da estimativa inicial x_{1}^{(0)}=x_{2}^{(0)}=x_{3}^{(0)}=x_{4}^{(0)}=1.
Vetor de incógnitas \, (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^\top.
Vetor de termos independentes implícito em cada equação igual a 1.
Estimativa inicial \,x^{(0)}=(1,1,1,1)^\top.
Solicitação: apresentar os valores das estimativas após as iterações k=1,2,3,4 usando Gauss–Jacobi.]
Passo 2
O que é o método de Gauss–Jacobi (explicação didática e fórmula):
A ideia é isolar cada variável x_i na sua equação e, em cada iteração k+1, calcular x_i^{(k+1)} usando exclusivamente os valores da iteração anterior x_j^{(k)} para j\ne i. Ou seja, todas as componentes são atualizadas “em paralelo”.
Em forma matricial isso vem de escrever A x = b com A=D+R, onde D é a diagonal de A e R o restante. A iteração de Jacobi é
x^{(k+1)} = D^{-1}\bigl(b - R\,x^{(k)}\bigr).
Aqui x^{(k)} é o vetor de aproximações na iteração k. Cada componente x_i^{(k+1)} usa apenas x_j^{(k)} (valores já calculados na iteração anterior), o que é a diferença chave para Gauss–Seidel.
Condição prática de convergência (útil para confiar no método): se A for estritamente diagonalmente dominante por linhas (|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para cada linha), então Jacobi converge. Para este sistema a diagonal tem 4 em cada linha e as somas dos módulos das outras entradas por linha são 1 ou 2, logo a desigualdade é satisfeita — então o método converge.
Passo 3
Isolando as incógnitas em cada equação (passo obrigatório para montar as fórmulas iterativas):
Explicando a notação: x_{i}^{(k)} é a aproximação da i-ésima variável na iteração k. Para obter x^{(1)} usa-se x^{(0)}, para x^{(2)} usa-se x^{(1)}, e assim por diante.]
Passo 4
Cálculo da iteração k=1 a partir de x^{(0)}=(1,1,1,1)^\top. Substituir os valores de x^{(0)} nas fórmulas:
Observação amigável: dá para ver que os valores vão se aproximando de uma solução centralizada entre 0,375 e 0,5; devido à diagonal dominante, o processo converge, e com mais iterações essas aproximações melhorarão cada vez mais.]