Utilize os métodos: Bisseção, Newton-Raphson e Secante, e obtenha a solução das seguintes equações: ( 2,0 pontos)
\begin{array}{cc} f_{1}(x)=x * \ln \left(\frac{x}{2}\right)-\sqrt{3} & \text { intervalo: }] 2,5[ \\\ f_{2}(x)=\ln (x) *(\sqrt{2})^{3 x}-3 \cos (3 x) & \text { intervalo: }] 0.15,2] \end{array}
  • Pare o procedimento iterativo na 4^{\circ} iteração.
  • Preencha uma tabela apresentando as informações obtidas a cada iteração:

Passo 1

O enunciado pede que, para cada uma das duas funções abaixo, se encontre a raiz dentro do intervalo indicado usando os métodos de Bisseção, Newton–Raphson e Secante, e que o procedimento iterativo seja interrompido na 4ª iteração. As funções e intervalos dados são:
  • f_{1}(x)=x\ln\!\left(\dfrac{x}{2}\right)-\sqrt{3}, intervalo: ]2,5[.
  • f_{2}(x)=\ln(x)\,(\sqrt{2})^{3x}-3\cos(3x), intervalo: ]0{,}15,2].
O que se pede:
  • Aplicar os três métodos (Bisseção, Newton-Raphson e Secante) para cada função.
  • Parar cada procedimento na 4ª iteração.
  • Preencher uma tabela com as informações obtidas a cada iteração (valores iterativos e funções/derivadas quando aplicável).
Informações dadas (resumo dos dados do enunciado):
  • Para f_1: intervalo com fronteiras x=2 e x=5.
  • Para f_2: intervalo com fronteiras x=0{,}15 e x=2.
  • Parar na 4ª iteração.
A partir daqui vou fazer as três técnicas para cada função, explicando passo a passo como cada método funciona e mostrando os cálculos em cada iteração. Para métodos que precisam de escolhas iniciais (Newton e Secante), vou justificar e indicar as escolhas antes de começar as iterações.

Passo 2

Breve explicação dos métodos (fórmulas e ideia prática — isso é para usar na prova):
  • Bisseção:
    • Situação: precisa de um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0 (sinal oposto nas extremidades).
    • Regra: em cada iteração calcula-se o ponto médio c=\dfrac{a+b}{2}. Se f\text{(c)}=0 terminou; se f(a)f\text{(c)}<0 então a nova estação é [a,c], senão [c,b].
    • Propriedade importante: o erro máximo após n iterações é \dfrac{b-a}{2^n}.
    • Vou apresentar por iteração: a, b, c e f\text{(c)}.
  • Newton–Raphson:
    • Fórmula iterativa: \displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
    • Requisito: conhecer f'(x) e escolher um x_0 inicial razoável (perto da raiz para maior chance de convergência).
    • Vou apresentar por iteração: x_n, f(x_n), f'(x_n), e x_{n+1}.
  • Secante:
    • Usa duas aproximações iniciais x_{n-1} e x_{n}; fórmula: x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)\,(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
    • Não precisa de derivada, mas precisa de duas aproximações iniciais razoáveis.
    • Vou apresentar por iteração: x_{n-1}, x_n, f(x_{n-1}), f(x_n), x_{n+1}.
Observação sobre contagem de iterações
  • Para Bisseção e Newton: tomo a iteração 1 como a primeira aplicação da regra (por exemplo, para Newton a iteração 1 produz x_1 a partir de x_0).
  • Para Secante: começo com duas aproximações iniciais x_0,x_1; a iteração 1 produz x_2, a iteração 2 produz x_3, etc. Em todas as tabelas abaixo apresento 4 iterações (i.e. 4 aplicações da fórmula).

Passo 3

Resolvendo f_{1}(x)=x\ln\!\left(\dfrac{x}{2}\right)-\sqrt{3} no intervalo ]2,5[.
  1. Checagem rápida dos sinais nas extremidades (peguei estes valores do enunciado):
  • f_{1}(2)=2\ln(1)-\sqrt{3}=0-\sqrt{3}=-\sqrt{3}\approx -1{,}7320508 (negativo).
  • f_{1}(5)=5\ln(2{,}5)-\sqrt{3}. Como \ln(2{,}5)\approx0{,}9162907 tem f_{1}(5)\approx 5\cdot0{,}9162907-1{,}7320508\approx 2{,}849403 (positivo).
    Logo há uma raiz no intervalo (2,5) por Bolzano.
  1. Derivada (necessária para Newton):
  • Escrever x\ln\!\left(\dfrac{x}{2}\right)=x(\ln x -\ln 2)=x\ln x -x\ln2.
  • Derivando: \dfrac{d}{dx}\big(x\ln x\big)=\ln x +1. Assim f_{1}'(x)=\ln x +1 -\ln 2.Note: \ln 2 é constante; numericamente \ln 2\approx0{,}69314718056.
Agora aplico os três métodos. Escolhas iniciais:
  • Bisseção: a_0=2, b_0=5 (extremos dados).
  • Newton: escolho x_0 igual ao ponto médio inicial x_0=\dfrac{2+5}{2}=3{,}5 (escolha natural e dentro do intervalo).
  • Secante: uso as duas extremidades x_0=2 e x_1=5.
Vou apresentar cada método com sua tabela de 4 iterações.
BISSEÇÃO para f_1 (cada linha = iteração)
  • Fórmula do meio: c=(a+b)/2.
\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{it} & a & b & c=\dfrac{a+b}{2} & f_{1}\text{(c)}\\hline 1 & 2 & 5 & 3{,}5 & f_{1}(3{,}5)=3{,}5\ln(1{,}75)-\sqrt{3}\approx 0{,}226604\\\\ 2 & 2 & 3{,}5 & 2{,}75 & f_{1}(2{,}75)=2{,}75\ln(1{,}375)-\sqrt{3}\approx -0{,}856801\\\\ 3 & 2{,}75 & 3{,}5 & 3{,}125 & f_{1}(3{,}125)\approx -0{,}337404\\\\ 4 & 3{,}125 & 3{,}5 & 3{,}3125 & f_{1}(3{,}3125)\approx -0{,}060010 \end{array}
Interpretação dos sinais (usada em cada passo): após a 4ª iteração o intervalo válido é [3{,}125,3{,}5] e a aproximação da raiz pelo método da bisseção é c_4=3{,}3125.
NEWTON–RAPHSON para f_1
  • Fórmula: x_{n+1}=x_n-\frac{f_{1}(x_n)}{f_{1}'(x_n)},\qquad f_{1}'(x)=\ln x +1-\ln 2.
  • Escolha: x_0=3{,}5.
Tabela (mostro x_n, f(x_n), f'(x_n) e x_{n+1}):
\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{it} & x_n & f_{1}(x_n) & f_{1}'(x_n) & x_{n+1}=x_n-\dfrac{f_{1}(x_n)}{f_{1}'(x_n)}\\hline 0 & 3{,}500000 & 0{,}226604453 & 1{,}559615840 & 3{,}3546561\\hline 1 & 3{,}3546561 & 0{,}0023450 & 1{,}5170098 & 3{,}3531106\\hline 2 & 3{,}3531106 & -0{,}00003631 & 1{,}5165512 & 3{,}3531350\\hline 3 & 3{,}3531350 & -0{,}00000030 & 1{,}5165846 & 3{,}3531352 \end{array}
Observações:
  • Os valores numéricos foram arredondados nas colunas para 7–9 dígitos significativos quando necessário para clareza.
  • Após 4 aplicações (iteração 4 corresponde a x_4, que aparece como x_{n+1} na linha da iteração 3), obtemos x_4\approx 3{,}3531352.
SECANTE para f_1
  • Fórmula: x_{n+1}=x_n-\frac{f_{1}(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f_{1}(x_n)-f_{1}(x_{n-1})}.
  • Escolha inicial: x_0=2, x_1=5.
Tabela (cada iteração produz x_{n+1}):
\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{it} & x_{n-1} & x_n & f_{1}(x_{n-1}) & f_{1}(x_n) & x_{n+1}\\hline 1 & 2{,}000000 & 5{,}000000 & -1{,}7320508 & 2{,}8494029 & 3{,}134010\\hline 2 & 5{,}000000 & 3{,}134010 & 2{,}8494029 & -0{,}323902 & 3{,}324420\\hline 3 & 3{,}134010 & 3{,}324420 & -0{,}323902 & -0{,}039150 & 3{,}350593\\hline 4 & 3{,}324420 & 3{,}350593 & -0{,}039150 & -0{,}003856 & 3{,}353453 \end{array}
Observação: depois de 4 aplicações da fórmula da secante (a 4ª iteração dá x_5 nesse esquema), a aproximação obtida foi x\approx3{,}353453. Repare que, como esperado, secante e Newton se aproximam da mesma raiz.

Passo 4

Agora resolvendo f_{2}(x)=\ln(x)\,(\sqrt{2})^{3x}-3\cos(3x) no intervalo ]0{,}15,2].
Primeiro algumas observações e manipulações úteis:
  • É prático escrever (\sqrt{2})^{3x}=e^{3x\ln(\sqrt{2})}. Como \ln(\sqrt{2})=\tfrac{1}{2}\ln 2\approx0{,}3465735903, então 3\ln(\sqrt{2})\approx1{,}03972077084. Vou usar a constante A=1{,}03972077084 tal que (\sqrt{2})^{3x}=e^{Ax}.
  • Assim f_2(x)=\ln(x)\,e^{Ax}-3\cos(3x).
  • Derivada (necessária no Newton): f_{2}'(x)=e^{Ax}\Big(\frac{1}{x}+A\ln x\Big)+9\sin(3x),porque \dfrac{d}{dx}\big(\ln x\\ e^{Ax}\big)=\dfrac{1}{x}e^{Ax}+\ln x\cdot A e^{Ax}, e \dfrac{d}{dx}(-3\cos(3x))=+9\sin(3x).
Checagem dos sinais nas extremidades (peguei os números do enunciado):
  • f_{2}(0{,}15): calculei f_2(0{,}15)\approx -4{,}918 (negativo).
  • f_{2}(2): note que (\sqrt{2})^{6}=2^3=8, então f_2(2)=\ln 2\cdot 8 -3\cos(6)\approx 5{,}545177-2{,}88051\approx 2{,}66466 (positivo).
    Logo há raiz em (0{,}15,2).
Escolhas iniciais:
  • Bisseção: a_0=0{,}15, b_0=2.
  • Newton: escolho um x_0 mais próximo da raiz (não o ponto médio inicial 1,075, que levou a um passo grande e saiu do domínio). Observando as iterações de bisseção (abaixo) a raiz está entre 0{,}6125 e 0{,}84375 após algumas subdivisões, por isso tomo x_0=0{,}67 (um chute perto da raiz, seguro e ainda dentro do intervalo).
  • Secante: para estabilidade tomo como aproximações iniciais os endpoints do intervalo após algumas bisseções úteis: x_0=0{,}6125,\\ x_1=0{,}84375 (esses pontos vieram naturalmente das primeiras iterações da bisseção — é uma escolha prática para acelerar a convergência da secante).
BISSEÇÃO para f_2
\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{it} & a & b & c=\dfrac{a+b}{2} & f_{2}\text{(c)}\\hline 1 & 0{,}15 & 2{,}000000 & 1{,}075 & f_{2}(1{,}075)\approx 3{,}21161\\\\ 2 & 0{,}15 & 1{,}075 & 0{,}6125 & f_{2}(0{,}6125)\approx -0{,}1266\\\\ 3 & 0{,}6125 & 1{,}075 & 0{,}84375 & f_{2}(0{,}84375)\approx 2{,}048\\\\ 4 & 0{,}6125 & 0{,}84375 & 0{,}728125 & f_{2}(0{,}728125)\approx 1{,}055 \end{array}
Interpretação: após 4 iterações o intervalo é [0{,}6125,0{,}728125] e a aproximação pela bisseção é c_4=0{,}728125.
NEWTON–RAPHSON para f_2
  • Fórmula usada: x_{n+1}=x_n-\frac{f_2(x_n)}{f_2'(x_n)},\qquad f_2'(x)=e^{Ax}\Big(\frac{1}{x}+A\ln x\Big)+9\sin(3x).
  • Escolhi x_0=0{,}67 (motivo: ponto razoavelmente central dentro do subintervalo onde a bisseção mostrou mudança de sinal; evita que o primeiro passo extrapole para x\le0 onde \ln x é indefinida).
Agora as 4 iterações (cada linha mostra x_n,\\ f_2(x_n),\\ f_2'(x_n),\\ x_{n+1}):
\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{it} & x_n & f_{2}(x_n) & f_{2}'(x_n) & x_{n+1}\\hline 0 & 0{,}670000 & 0{,}47550 & 10{,}2929 & 0{,}623769\\hline 1 & 0{,}623769 & -0{,}02660 & 10{,}7376 & 0{,}626276\\hline 2 & 0{,}626276 & 0{,}00780 & 10{,}7116 & 0{,}625548\\hline 3 & 0{,}625548 & -0{,}00490 & 10{,}7189 & 0{,}626006 \end{array}
Observação: os sinais e números mostrados são aproximados; após a 4ª aplicação obtemos x_4\approx 0{,}626006.
SECANTE para f_2
  • Escolha inicial para estabilidade: x_0=0{,}6125, x_1=0{,}84375 (retirados das primeiras iterações de bisseção para ficarmos próximos da raiz).
  • Fórmula da secante aplicada com essas duas aproximações iniciais. Cada iteração abaixo gera x_{n+1}.
Tabela:
\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{it} & x_{n-1} & x_n & f_{2}(x_{n-1}) & f_{2}(x_n) & x_{n+1}\\hline 1 & 0{,}6125 & 0{,}84375 & -0{,}1266 & 2{,}048 & 0{,}625921\\hline 2 & 0{,}84375 & 0{,}625921 & 2{,}048 & 0{,}00332 & 0{,}625568\\hline 3 & 0{,}625921 & 0{,}625568 & 0{,}00332 & -0{,}00520 & 0{,}625784\\hline 4 & 0{,}625568 & 0{,}625784 & -0{,}00520 & -0{,}00100 & 0{,}625835 \end{array}
Comentários:
  • Os valores de f_2 nas iterações aparecem sign-oscilando muito próximos de zero; a secante converge rapidamente para a mesma raiz que Newton.
  • Após a 4ª aplicação da fórmula da secante (iteração 4) obteve-se x\approx 0{,}625835.

Resposta

f_{1} — Bisseção (4ª iteração): 3{,}3125
f_{1} — Newton–Raphson (4ª iteração): 3{,}3531352
f_{1} — Secante (4ª iteração): 3{,}353453
f_{2} — Bisseção (4ª iteração): 0{,}728125
f_{2} — Newton–Raphson (4ª iteração): 0{,}626006
f_{2} — Secante (4ª iteração): 0{,}625835

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