Utilize os métodos: Bisseção, Newton-Raphson e Secante, e obtenha a solução das seguintes equações: ( 2,0 pontos)
- Pare o procedimento iterativo na
iteração.
- Preencha uma tabela apresentando as informações obtidas a cada iteração:
Passo 1
O enunciado pede que, para cada uma das duas funções abaixo, se encontre a raiz dentro do intervalo indicado usando os métodos de Bisseção, Newton–Raphson e Secante, e que o procedimento iterativo seja interrompido na 4ª iteração. As funções e intervalos dados são:
-
, intervalo: . -
, intervalo: .
O que se pede:
- Aplicar os três métodos (Bisseção, Newton-Raphson e Secante) para cada função.
- Parar cada procedimento na 4ª iteração.
- Preencher uma tabela com as informações obtidas a cada iteração (valores iterativos e funções/derivadas quando aplicável).
Informações dadas (resumo dos dados do enunciado):
- Para
: intervalo com fronteiras e . - Para
: intervalo com fronteiras e . - Parar na 4ª iteração.
A partir daqui vou fazer as três técnicas para cada função, explicando passo a passo como cada método funciona e mostrando os cálculos em cada iteração. Para métodos que precisam de escolhas iniciais (Newton e Secante), vou justificar e indicar as escolhas antes de começar as iterações.
Passo 2
Breve explicação dos métodos (fórmulas e ideia prática — isso é para usar na prova):
-
Bisseção:
- Situação: precisa de um intervalo
com (sinal oposto nas extremidades). - Regra: em cada iteração calcula-se o ponto médio
. Se terminou; se então a nova estação é , senão . - Propriedade importante: o erro máximo após
iterações é . - Vou apresentar por iteração:
, , e .
- Situação: precisa de um intervalo
-
Newton–Raphson:
- Fórmula iterativa:
. - Requisito: conhecer
e escolher um inicial razoável (perto da raiz para maior chance de convergência). - Vou apresentar por iteração:
, , , e .
- Fórmula iterativa:
-
Secante:
- Usa duas aproximações iniciais
e ; fórmula: - Não precisa de derivada, mas precisa de duas aproximações iniciais razoáveis.
- Vou apresentar por iteração:
, , , , .
- Usa duas aproximações iniciais
Observação sobre contagem de iterações
- Para Bisseção e Newton: tomo a iteração 1 como a primeira aplicação da regra (por exemplo, para Newton a iteração 1 produz
a partir de ). - Para Secante: começo com duas aproximações iniciais
; a iteração 1 produz , a iteração 2 produz , etc. Em todas as tabelas abaixo apresento 4 iterações (i.e. 4 aplicações da fórmula).
Passo 3
Resolvendo
no intervalo
.
- Checagem rápida dos sinais nas extremidades (peguei estes valores do enunciado):
-
(negativo). -
. Como tem (positivo).
Logo há uma raiz no intervalopor Bolzano.
- Derivada (necessária para Newton):
- Escrever
. - Derivando:
. Assim Note: é constante; numericamente .
Agora aplico os três métodos. Escolhas iniciais:
- Bisseção:
, (extremos dados). - Newton: escolho
igual ao ponto médio inicial (escolha natural e dentro do intervalo). - Secante: uso as duas extremidades
e .
Vou apresentar cada método com sua tabela de 4 iterações.
BISSEÇÃO para
(cada linha = iteração)
- Fórmula do meio:
.
Interpretação dos sinais (usada em cada passo): após a 4ª iteração o intervalo válido é
e a aproximação da raiz pelo método da bisseção é
.
NEWTON–RAPHSON para
- Fórmula:
- Escolha:
.
Tabela (mostro
,
,
e
):
Observações:
- Os valores numéricos foram arredondados nas colunas para 7–9 dígitos significativos quando necessário para clareza.
- Após 4 aplicações (iteração 4 corresponde a
, que aparece como na linha da iteração 3), obtemos .
SECANTE para
- Fórmula:
- Escolha inicial:
, .
Tabela (cada iteração produz
):
Observação: depois de 4 aplicações da fórmula da secante (a 4ª iteração dá
nesse esquema), a aproximação obtida foi
. Repare que, como esperado, secante e Newton se aproximam da mesma raiz.
Passo 4
Agora resolvendo
no intervalo
.
Primeiro algumas observações e manipulações úteis:
- É prático escrever
. Como , então . Vou usar a constante tal que . - Assim
. - Derivada (necessária no Newton):
porque , e .
Checagem dos sinais nas extremidades (peguei os números do enunciado):
-
: calculei (negativo). -
: note que , então (positivo).
Logo há raiz em.
Escolhas iniciais:
- Bisseção:
, . - Newton: escolho um
mais próximo da raiz (não o ponto médio inicial 1,075, que levou a um passo grande e saiu do domínio). Observando as iterações de bisseção (abaixo) a raiz está entre e após algumas subdivisões, por isso tomo (um chute perto da raiz, seguro e ainda dentro do intervalo). - Secante: para estabilidade tomo como aproximações iniciais os endpoints do intervalo após algumas bisseções úteis:
(esses pontos vieram naturalmente das primeiras iterações da bisseção — é uma escolha prática para acelerar a convergência da secante).
BISSEÇÃO para
Interpretação: após 4 iterações o intervalo é
e a aproximação pela bisseção é
.
NEWTON–RAPHSON para
- Fórmula usada:
- Escolhi
(motivo: ponto razoavelmente central dentro do subintervalo onde a bisseção mostrou mudança de sinal; evita que o primeiro passo extrapole para onde é indefinida).
Agora as 4 iterações (cada linha mostra
):
Observação: os sinais e números mostrados são aproximados; após a 4ª aplicação obtemos
.
SECANTE para
- Escolha inicial para estabilidade:
, (retirados das primeiras iterações de bisseção para ficarmos próximos da raiz). - Fórmula da secante aplicada com essas duas aproximações iniciais. Cada iteração abaixo gera
.
Tabela:
Comentários:
- Os valores de
nas iterações aparecem sign-oscilando muito próximos de zero; a secante converge rapidamente para a mesma raiz que Newton. - Após a 4ª aplicação da fórmula da secante (iteração 4) obteve-se
.