Determine a raiz positiva de
pelo Método da Secante com erro relativo inferior a
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a raiz positiva da equação
usando o Método da Secante até que o erro relativo seja menor que
.
Informações dadas:
- A função é
. - Queremos a raiz positiva (ou seja, o
tal que ). - Critério de parada: erro relativo inferior a
.
Passo 2
O que é o Método da Secante e a fórmula que vamos usar (explicação didática):
- A ideia da secante é aproximar a curva
por uma reta que passa por dois pontos conhecidos e e tomar a interseção dessa reta com o eixo como a próxima aproximação . - A equação da reta que passa por esses pontos leva, por conta de semelhança de triângulos, à fórmula iterativa
- Significado de cada símbolo:
-
são as duas últimas aproximações conhecidas; -
são os valores da função nessas abscissas; -
é a nova aproximação obtida pela interseção da secante com o eixo .
-
- Critério de erro que usaremos: erro relativo aproximado entre iterações
Pararemos quando esse valor for menor que
.
Passo 3
Escolha das aproximações iniciais (sempre escolha pontos próximos à raiz; aqui usamos uma observação de sinal):
- Avaliando rapidamente
em alguns pontos (apenas para localizar a raiz): -
(negativo). -
(positivo).
Portanto existe uma raiz entree . Refinando: -
é negativo (ver cálculo abaixo). -
é positivo (ver cálculo abaixo).
-
- Assim escolhemos como pontos iniciais
porque
e
têm sinais opostos (isso nos dá confiança que a raiz está entre eles).
Cálculo dos valores iniciais (mostrando as contas):
-
. -
, então . - Logo
-
. -
, então (aprox). - Logo
Observação: foram usadas aproximações decimais para
e
com precisão suficiente para as iterações que seguem.
Passo 4
Primeira iteração da secante (calcular
):
- Aplicando a fórmula com
e :
- Substituindo os números:
- Calcule passo a passo:
-
. -
. - A fração fica
. - Portanto
-
Passo 5
Avaliação de
(para ver se já estamos perto e para a próxima iteração):
- Calcular
e : -
(aprox). - Para
fazemos uma aproximação via séries/exponenciais: , então .
-
- Assim
(Portanto
já é muito próximo de zero.)
Passo 6
Segunda iteração da secante e verificação do erro relativo:
- Usamos agora
e . - A fórmula dá
- Substituindo (com
e ): -
. -
. - A fração
- Portanto
-
- Agora calculamos o erro relativo aproximado entre
e :
- Como
, o critério de parada foi satisfeito. Podemos parar.
Passo 7
Interpretação final e recomendação prática:
- A raiz positiva aproximada encontrada pelo Método da Secante, satisfazendo o requisito de erro relativo
, é a última aproximação . - Em provas sem calculadora, o procedimento mostrado (escolher dois bons pontos iniciais, aplicar a fórmula da secante e verificar a diferença relativa) é o que se pede; nas contas de mão, mantenha 4–6 casas decimais nas avaliações de
e para garantir que o critério de erro seja avaliado corretamente.