Determine a raiz positiva de f(x)=\sqrt{x}-5 e^{-x}=0 pelo Método da Secante com erro relativo inferior a \varepsilon<10^{-2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a raiz positiva da equação f(x)=\sqrt{x}-5e^{-x}=0 usando o Método da Secante até que o erro relativo seja menor que \varepsilon<10^{-2}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\sqrt{x}-5e^{-x}.
  • Queremos a raiz positiva (ou seja, o x>0 tal que f(x)=0).
  • Critério de parada: erro relativo inferior a \varepsilon=10^{-2}.

Passo 2

O que é o Método da Secante e a fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A ideia da secante é aproximar a curva y=f(x) por uma reta que passa por dois pontos conhecidos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)) e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como a próxima aproximação x_{n+1}.
  • A equação da reta que passa por esses pontos leva, por conta de semelhança de triângulos, à fórmula iterativa
x_{n+1}=x_n - f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
  • Significado de cada símbolo:
    • x_{n-1},x_n são as duas últimas aproximações conhecidas;
    • f(x_{n-1}),f(x_n) são os valores da função nessas abscissas;
    • x_{n+1} é a nova aproximação obtida pela interseção da secante com o eixo x.
  • Critério de erro que usaremos: erro relativo aproximado entre iterações
\text{erro relativo}=\frac{|x_{n+1}-x_n|}{|x_{n+1}|}.
Pararemos quando esse valor for menor que \varepsilon=10^{-2}.

Passo 3

Escolha das aproximações iniciais (sempre escolha pontos próximos à raiz; aqui usamos uma observação de sinal):
  • Avaliando rapidamente f em alguns pontos (apenas para localizar a raiz):
    • f(1)=\sqrt{1}-5e^{-1}=1-5/e\approx -0,84 (negativo).
    • f(2)=\sqrt{2}-5e^{-2}\approx1{,}414-0{,}676\approx0{,}738 (positivo).
      Portanto existe uma raiz entre 1 e 2. Refinando:
    • f(1{,}4)=\sqrt{1{,}4}-5e^{-1{,}4} é negativo (ver cálculo abaixo).
    • f(1{,}45)=\sqrt{1{,}45}-5e^{-1{,}45} é positivo (ver cálculo abaixo).
  • Assim escolhemos como pontos iniciais
x_0=1{,}4,\qquad x_1=1{,}45,
porque f(x_0) e f(x_1) têm sinais opostos (isso nos dá confiança que a raiz está entre eles).
Cálculo dos valores iniciais (mostrando as contas):
  • \sqrt{1{,}4}\approx1{,}1832159566.
  • e^{-1{,}4}\approx0{,}2465969639, então 5e^{-1{,}4}\approx1{,}2329848197.
  • Logo
f(1{,}4)=\sqrt{1{,}4}-5e^{-1{,}4}\approx1{,}1832159566-1{,}2329848197\approx-0{,}0497688631.
  • \sqrt{1{,}45}\approx1{,}2041594579.
  • e^{-1{,}45}\approx0{,}234570, então 5e^{-1{,}45}\approx1{,}17285 (aprox).
  • Logo
f(1{,}45)=\sqrt{1{,}45}-5e^{-1{,}45}\approx1{,}2041594579-1{,}17285\approx0{,}0313094579.
Observação: foram usadas aproximações decimais para e^{-x} e \sqrt{\cdot} com precisão suficiente para as iterações que seguem.

Passo 4

Primeira iteração da secante (calcular x_2):
  • Aplicando a fórmula com x_{n-1}=x_0=1{,}4 e x_n=x_1=1{,}45:
x_2 = x_1 - f(x_1)\,\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)}.
  • Substituindo os números:
x_2 \approx 1{,}45 - (0{,}0313094579)\frac{1{,}45-1{,}4}{0{,}0313094579-(-0{,}0497688631)}.
  • Calcule passo a passo:
    • x_1-x_0=0{,}05.
    • f(x_1)-f(x_0)=0{,}0313094579-(-0{,}0497688631)=0{,}0810783210.
    • A fração fica \dfrac{0{,}0313094579\cdot0{,}05}{0{,}0810783210}\approx0{,}0193055429.
    • Portanto
x_2\approx1{,}45-0{,}0193055429\approx1{,}4306944571.

Passo 5

Avaliação de f(x_2) (para ver se já estamos perto e para a próxima iteração):
  • Calcular \sqrt{x_2} e 5e^{-x_2}:
    • \sqrt{1{,}4306944571}\approx1{,}195991 (aprox).
    • Para e^{-1{,}4306944571} fazemos uma aproximação via séries/exponenciais: e^{-1{,}430694}\approx0{,}239174, então 5e^{-x_2}\approx1{,}19587.
  • Assim
f(x_2)=\sqrt{x_2}-5e^{-x_2}\approx1{,}195991-1{,}19587\approx0{,}00012.
(Portanto f(x_2) já é muito próximo de zero.)

Passo 6

Segunda iteração da secante e verificação do erro relativo:
  • Usamos agora x_{n-1}=x_1=1{,}45 e x_n=x_2\approx1{,}4306944571.
  • A fórmula dá
x_3 = x_2 - f(x_2)\,\frac{x_2-x_1}{f(x_2)-f(x_1)}.
  • Substituindo (com f(x_2)\approx0{,}00012 e f(x_1)\approx0{,}0313094579):
    • x_2-x_1\approx-0{,}0193055429.
    • f(x_2)-f(x_1)\approx0{,}00012-0{,}0313094579\approx-0{,}0311894579.
    • A fração \dfrac{f(x_2)(x_2-x_1)}{f(x_2)-f(x_1)}\approx \dfrac{0{,}00012\cdot(-0{,}0193055)}{-0{,}0311895}\approx7{,}4\times10^{-5}.
    • Portanto
x_3\approx x_2 - 7{,}4\times10^{-5}\approx1{,}4306167\quad(\text{aprox}).
  • Agora calculamos o erro relativo aproximado entre x_3 e x_2:
\frac{|x_3-x_2|}{|x_3|}\approx\frac{7{,}4\times10^{-5}}{1{,}4306167}\approx5{,}2\times10^{-5}.
  • Como 5{,}2\times10^{-5}<10^{-2}, o critério de parada \text{erro relativo}<10^{-2} foi satisfeito. Podemos parar.

Passo 7

Interpretação final e recomendação prática:
  • A raiz positiva aproximada encontrada pelo Método da Secante, satisfazendo o requisito de erro relativo \varepsilon<10^{-2}, é a última aproximação x_3.
  • Em provas sem calculadora, o procedimento mostrado (escolher dois bons pontos iniciais, aplicar a fórmula da secante e verificar a diferença relativa) é o que se pede; nas contas de mão, mantenha 4–6 casas decimais nas avaliações de e^{-x} e \sqrt{\cdot} para garantir que o critério de erro seja avaliado corretamente.

Resposta

x\approx1{,}430617

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