Encontre a resposta à entrada nula y_{0}(t) dos sistemas LTIC (linear, time-invariant, continuous-time) abaixo:
\left(D^{2}+4 D+40\right) y(t)=(D+2) x(t) y_{0}(0)=2 \quad \dot{y}_{0}(0)=16,78

Passo 1

O enunciado pede a resposta à entrada nula y_{0}(t) do sistema linear e invariante no tempo cujo equacionamento é
\left(D^{2}+4D+40\right)y(t)=(D+2)x(t),
com as condições iniciais da resposta à entrada nula dadas por
y_{0}(0)=2,\qquad \dot{y}_{0}(0)=16,78.
Informações relevantes que temos (extraídas do enunciado):
  • A resposta à entrada nula significa que devemos tomar x(t)=0 e resolver a equação homogênea associada.
  • Portanto a equação que realmente vamos resolver é \left(D^{2}+4D+40\right)y_{0}(t)=0.
  • Condições iniciais para y_{0}(t) em t=0: y_{0}(0)=2 e \dot{y}_{0}(0)=16,78.

Passo 2

Qual o método que vamos usar? Como temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e o lado direito é zero, o método padrão e mais simples é resolver a equação característica associada e escrever a solução geral da homogênea. Vou explicar passo a passo:
  • Para uma ODE homogênea de ordem 2 com coeficientes constantes y''+a_1 y'+a_0 y=0,forma-se a equação característica r^2+a_1 r + a_0=0,e as raízes r determinam a forma da solução. Se as raízes forem complexas conjugadas r=\alpha\pm j\beta, a solução real geral é y(t)=e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big).
Iremos aplicar exatamente isso à nossa equação.

Passo 3

Escrevendo a equação homogênea explicitamente:
y_{0}''(t)+4y_{0}'(t)+40y_{0}(t)=0.
A equação característica é
r^{2}+4r+40=0.
Calculamos o discriminante e as raízes:
\Delta = 4^{2}-4\cdot1\cdot40=16-160=-144.
Como \Delta<0, as raízes são complexas:
r=\frac{-4\pm\sqrt{-144}}{2}=\frac{-4\pm 12\mathrm{i}}{2}=-2\pm 6\mathrm{i}.

Passo 4

Das raízes r=-2\pm 6\mathrm{i} obtemos a solução geral real (forma de oscilador amortecido):
y_{0}(t)=e^{-2t}\big(A\cos(6t)+B\sin(6t)\big),
onde A e B são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. (Rápida explicação: as partes real e imaginária das exponenciais complexas geram as funções \cos e \sin multiplicadas por e^{\alpha t}, com \alpha a parte real da raiz e \beta a parte imaginária.)

Passo 5

Aplicamos a condição inicial em t=0 para achar A:
y_{0}(0)=e^{0}\big(A\cos 0 + B\sin 0\big)=A\cdot 1 + B\cdot 0 = A.
Como y_{0}(0)=2, segue
A=2.

Passo 6

Agora precisamos de B. Calculamos \dot{y}_{0}(t) de forma detalhada (usando regra do produto e derivadas das funções trigonométricas). Começamos com
y_{0}(t)=e^{-2t}\big(A\cos(6t)+B\sin(6t)\big).
Derivando:
\dot{y}_{0}(t)=\frac{d}{dt}\Big[e^{-2t}\Big]\big(A\cos 6t + B\sin 6t\Big) + e^{-2t}\frac{d}{dt}\Big(A\cos 6t + B\sin 6t\Big).
Calculamos cada termo:
\frac{d}{dt}\big[e^{-2t}\big]=-2e^{-2t},
\frac{d}{dt}\big(A\cos 6t + B\sin 6t\big) = -6A\sin 6t + 6B\cos 6t.
Substituindo:
\dot{y}_{0}(t)=e^{-2t}\Big[-2\big(A\cos 6t + B\sin 6t\big) + \big(-6A\sin 6t + 6B\cos 6t\big)\Big].
Agrupando os termos em \cos e \sin:
\dot{y}_{0}(t)=e^{-2t}\Big[(-2A+6B)\cos 6t + (-2B-6A)\sin 6t\Big].

Passo 7

Avaliaremos \dot{y}_{0}(t) em t=0. Como \cos 0=1 e \sin 0=0, temos
\dot{y}_{0}(0)=(-2A+6B).
Substituindo A=2 e a condição \dot{y}_{0}(0)=16,78:
16,78 = -2\cdot 2 + 6B = -4 + 6B.
Logo
6B = 16,78 + 4 = 20,78,
B = \dfrac{20,78}{6} = \dfrac{10,39}{3} \approx 3,463\overline{3}.

Passo 8

Escrevendo a solução final com os valores de A e B:
y_{0}(t)=e^{-2t}\!\Big(2\cos 6t + \dfrac{10,39}{3}\sin 6t\Big).
Se preferir um valor decimal aproximado para o coeficiente do seno:
y_{0}(t)\approx e^{-2t}\big(2\cos 6t + 3,4633\sin 6t\big).

Resposta

y_{0}(t)=e^{-2t}\!\Big(2\cos 6t + \dfrac{10,39}{3}\sin 6t\Big)

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