Encontre a resposta à entrada nula
dos sistemas LTIC (linear, time-invariant, continuous-time) abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a resposta à entrada nula
do sistema linear e invariante no tempo cujo equacionamento é
com as condições iniciais da resposta à entrada nula dadas por
Informações relevantes que temos (extraídas do enunciado):
- A resposta à entrada nula significa que devemos tomar
e resolver a equação homogênea associada. - Portanto a equação que realmente vamos resolver é
- Condições iniciais para
em : e .
Passo 2
Qual o método que vamos usar? Como temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e o lado direito é zero, o método padrão e mais simples é resolver a equação característica associada e escrever a solução geral da homogênea. Vou explicar passo a passo:
- Para uma ODE homogênea de ordem 2 com coeficientes constantes
forma-se a equação característica e as raízes determinam a forma da solução. Se as raízes forem complexas conjugadas , a solução real geral é
Iremos aplicar exatamente isso à nossa equação.
Passo 3
Escrevendo a equação homogênea explicitamente:
A equação característica é
Calculamos o discriminante e as raízes:
Como
, as raízes são complexas:
Passo 4
Das raízes
obtemos a solução geral real (forma de oscilador amortecido):
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. (Rápida explicação: as partes real e imaginária das exponenciais complexas geram as funções
e
multiplicadas por
, com
a parte real da raiz e
a parte imaginária.)
Passo 5
Aplicamos a condição inicial em
para achar
:
Como
, segue
Passo 6
Agora precisamos de
. Calculamos
de forma detalhada (usando regra do produto e derivadas das funções trigonométricas). Começamos com
Derivando:
Calculamos cada termo:
Substituindo:
Agrupando os termos em
e
:
Passo 7
Avaliaremos
em
. Como
e
, temos
Substituindo
e a condição
:
Logo
Passo 8
Escrevendo a solução final com os valores de
e
:
Se preferir um valor decimal aproximado para o coeficiente do seno: