Calcule a aproximação da integral da função f(x)=x^{3}+1 no intervalo de 0 a 3 , usando a Regra dos 3 / 8 de Simpson composta, subdividindo o intervalo em 3 subintervalos iguais. Qual é o valor aproximado?
a. 30,0 \bigcirc
b. 24,0 \bigcirc
c. 22,5 \bigcirc
d. 28,5 \bigcirc

Passo 1

O enunciado pede: aproximar a integral da função f(x)=x^{3}+1 no intervalo de 0 a 3 usando a Regra dos 3/8 de Simpson composta, subdividindo o intervalo em 3 subintervalos iguais, e dizer qual é o valor aproximado (opções dadas). Informações relevantes fornecidas:
\text{Função: } f(x)=x^{3}+1çã
\text{Intervalo: } [0,3]
\text{Número de subintervalos: } n=3\quad(\text{todos iguais})ú
Não há nenhuma outra condição escondida no enunciado; devemos aplicar a Regra dos 3/8 de Simpson composta com n=3.

Passo 2

O que é a Regra dos 3/8 de Simpson composta e qual fórmula vamos usar. Vou explicar como ela funciona de um jeito bem prático.
A Regra dos 3/8 de Simpson approximates uma integral em blocos de três subintervalos iguais. Para um único bloco com quatro pontos x_0,x_1,x_2,x_3 igualmente espaçados por um passo h (ou seja, x_{i+1}-x_i=h), a fórmula é
\int_{x_0}^{x_3} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\bigl[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\bigr].
Explicando as variáveis:
  • x_0 é o ponto inicial do bloco,
  • x_3 é o ponto final do bloco,
  • h é o tamanho do subintervalo: h=(x_3-x_0)/3,
  • f(x_i) são os valores da função nos nós.
Quando precisamos integrar de a até b e n é múltiplo de 3, aplicamos esse bloco repetidamente (a soma composta). No nosso caso n=3, então temos exatamente um bloco com x_0=a e x_3=b — ou seja, aplicamos a fórmula acima uma vez.
Observação importante (didática): a Regra dos 3/8 é exata para polinômios de grau até 3. Isso significa que, se f é um polinômio cúbico (como aqui), o valor aproximado será na verdade o valor exato da integral.

Passo 3

Calcular o passo h e os nós x_i. O intervalo é [0,3] e dividimos em n=3 subintervalos iguais, então
h=\frac{b-a}{n}=\frac{3-0}{3}=1.
Os nós são
x_0=0,\quad x_1=1,\quad x_2=2,\quad x_3=3.

Passo 4

Calcular os valores da função f(x)=x^{3}+1 em cada nó. Vou mostrar cada conta:
f(x_0)=f(0)=0^{3}+1=1,
f(x_1)=f(1)=1^{3}+1=2,
f(x_2)=f(2)=2^{3}+1=8+1=9,
f(x_3)=f(3)=3^{3}+1=27+1=28.

Passo 5

Aplicar a fórmula da Regra dos 3/8 com os números obtidos. A fórmula para o bloco inteiro é
\int_{0}^{3} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\bigl[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\bigr].
Substituindo h=1 e os f(x_i):
\int_{0}^{3} (x^{3}+1)\,dx \approx \frac{3\cdot 1}{8}\bigl[1 + 3\cdot 2 + 3\cdot 9 + 28\bigr].
Agora cálculo passo a passo dentro dos colchetes:
1 + 3\cdot 2 + 3\cdot 9 + 28 = 1 + 6 + 27 + 28 = 62.
Multiplicando pelo fator:
\frac{3}{8}\cdot 62 = \frac{186}{8} = 23,25.

Passo 6

Interpretação didática e checagem: como expliquei antes, a Regra dos 3/8 é exata para polinômios de grau até 3. Nossa função é exatamente um polinômio de grau 3, então o valor obtido pela regra é o valor exato da integral. Se formos calcular a integral por anti-derivada, confirmamos:
\int (x^{3}+1)\,dx = \frac{x^{4}}{4}+x + C,
portanto
\int_{0}^{3} (x^{3}+1)\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}+x\right]_{0}^{3} = \frac{3^{4}}{4}+3 - \bigl(0+0\bigr) = \frac{81}{4}+3 = 20,25+3 = 23,25.
Tudo bate certinho: tanto a regra quanto a integral exata dão \,23,25.

Resposta

\;23,25

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