Calcule a aproximação da integral da função
no intervalo de 0 a 3 , usando a Regra dos
de Simpson composta, subdividindo o intervalo em 3 subintervalos iguais. Qual é o valor aproximado?
a. 30,0
b. 24,0
c. 22,5
d. 28,5
a. 30,0
b. 24,0
c. 22,5
d. 28,5
Passo 1
O enunciado pede: aproximar a integral da função
no intervalo de
a
usando a Regra dos
de Simpson composta, subdividindo o intervalo em
subintervalos iguais, e dizer qual é o valor aproximado (opções dadas). Informações relevantes fornecidas:
Não há nenhuma outra condição escondida no enunciado; devemos aplicar a Regra dos
de Simpson composta com
.
Passo 2
O que é a Regra dos
de Simpson composta e qual fórmula vamos usar. Vou explicar como ela funciona de um jeito bem prático.
A Regra dos
de Simpson approximates uma integral em blocos de três subintervalos iguais. Para um único bloco com quatro pontos
igualmente espaçados por um passo
(ou seja,
), a fórmula é
Explicando as variáveis:
-
é o ponto inicial do bloco, -
é o ponto final do bloco, -
é o tamanho do subintervalo: , -
são os valores da função nos nós.
Quando precisamos integrar de
até
e
é múltiplo de
, aplicamos esse bloco repetidamente (a soma composta). No nosso caso
, então temos exatamente um bloco com
e
— ou seja, aplicamos a fórmula acima uma vez.
Observação importante (didática): a Regra dos
é exata para polinômios de grau até
. Isso significa que, se
é um polinômio cúbico (como aqui), o valor aproximado será na verdade o valor exato da integral.
Passo 3
Calcular o passo
e os nós
. O intervalo é
e dividimos em
subintervalos iguais, então
Os nós são
Passo 4
Calcular os valores da função
em cada nó. Vou mostrar cada conta:
Passo 5
Aplicar a fórmula da Regra dos
com os números obtidos. A fórmula para o bloco inteiro é
Substituindo
e os
:
Agora cálculo passo a passo dentro dos colchetes:
Multiplicando pelo fator:
Passo 6
Interpretação didática e checagem: como expliquei antes, a Regra dos
é exata para polinômios de grau até
. Nossa função é exatamente um polinômio de grau
, então o valor obtido pela regra é o valor exato da integral. Se formos calcular a integral por anti-derivada, confirmamos:
portanto
Tudo bate certinho: tanto a regra quanto a integral exata dão
.