A função f(t)=3 t^{2}+2 representa a taxa de crescimento de uma planta em centímetros por dia. Estime o crescimento total da planta entre \circ 1^{\circ} \mathrm{e} \circ 4^{\circ} dia usando a regra do trapézio com 3 subintervalos.

Passo 1

O enunciado dá a taxa de crescimento da planta e pede uma estimativa do crescimento total entre o 1^\circ e o 4^\circ dia usando a regra do trapézio com 3 subintervalos. Informações dadas:
  • A função taxa é f(t)=3 t^{2}+2 (em centímetros por dia).
  • Intervalo de integração: de t=1 até t=4.
  • Número de subintervalos para a regra do trapézio: n=3.

Passo 2

Explicação da regra do trapézio composta (passo-a-passo didático):
  • Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de mesmo comprimento h, onde
h=\frac{b-a}{n}.
Aqui a e b são os extremos do intervalo e n é o número de subintervalos.
  • Os nós (pontos) são \,t_0=a,\; t_1=a+h,\; t_2=a+2h,\;\dots,\; t_n=b.
  • A regra do trapézio composta aproxima a integral \int_a^b f(t)\,dt por
T_n = h\left(\frac{f(t_0)+f(t_n)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(t_i)\right).
Significado de cada termo:
  • h é a largura de cada subintervalo.
  • \frac{f(t_0)+f(t_n)}{2} é a média dos valores nos extremos (cada extremo só conta metade porque aparecem em apenas um trapézio).
  • \sum_{i=1}^{n-1} f(t_i) soma os valores nos pontos internos (cada um aparece em dois trapézios inteiros).
  • Esta regra corresponde a aproximar a área sob a curva por trapézios em cada subintervalo e somar as áreas.

Passo 3

Calculemos h para o nosso caso com a=1, b=4 e n=3:
h=\frac{4-1}{3}=\frac{3}{3}=1.

Passo 4

Determine os nós e avalie f em cada um:
  • Nós:
t_0=1,\quad t_1=2,\quad t_2=3,\quad t_3=4.
  • Avaliando f(t)=3t^{2}+2:
f(1)=3\cdot 1^{2}+2=3+2=5,
f(2)=3\cdot 2^{2}+2=3\cdot 4+2=12+2=14,
f(3)=3\cdot 3^{2}+2=3\cdot 9+2=27+2=29,
f(4)=3\cdot 4^{2}+2=3\cdot 16+2=48+2=50.

Passo 5

Aplique a fórmula da regra do trapézio composta com h=1, usando os valores calculados:
T_3 = 1\left(\frac{f(1)+f(4)}{2} + \bigl(f(2)+f(3)\bigr)\right).
Substituindo os números:
T_3 = \left(\frac{5+50}{2} + (14+29)\right).
Calcule passo a passo:
\frac{5+50}{2}=\frac{55}{2}=27,5,
14+29=43,
T_3=27,5+43=70,5.
Interpretação: a estimativa do crescimento total da planta entre o 1^\circ e o 4^\circ dia é aproximadamente 70,5 centímetros.

Resposta

70,5\\ \text{cm}

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