Supondo que entre as variáveis x e y há uma relação linear em que y depende de x, observe a tabela abaixo e ajuste uma reta tal que: y=a_{0}+a_{1} x. Considere quatre o casas decimais.
xi 1 2 4 6
yi 5 3 1 0,5
(A) \mathrm{y}=-5,2119+0,8729 \mathrm{x}
(B) y=5,2119-0,8729 x
(C) \mathrm{y}=5,2119+0,8729 \mathrm{x}
(D) y=4,2810+0,8934 x
(E) \mathrm{y}=-4,2810+0,8934

Passo 1

O enunciado pede ajustar uma reta do tipo y=a_{0}+a_{1}x aos pontos dados e escolher, entre as alternativas, a equação correta. Os dados fornecidos são (peguei-os da tabela do enunciado):
x_i: 1,\;2,\;4,\;6
y_i: 5,\;3,\;1,\;0,5
O objetivo final é encontrar os coeficientes a_{0} (intercepto) e a_{1} (inclinação) com quatro casas decimais e comparar com as alternativas.

Passo 2

Método que vamos usar: mínimos quadrados lineares (regressão linear simples). Vou explicar de forma prática e direta as fórmulas que usamos e o que cada símbolo significa.
  • Temos n pontos (x_i,y_i). Aqui n é o número de observações.
  • Definimos as médias
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,\qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i.
  • As fórmulas usuais dos mínimos quadrados para a reta y=a_{0}+a_{1}x são
a_{1}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad a_{0}=\bar{y}-a_{1}\bar{x},
onde
S_{xy}=\sum_{i=1}^{n}x_i y_i - n\bar{x}\bar{y},\qquad S_{xx}=\sum_{i=1}^{n}x_i^{2}-n\bar{x}^{2}.
O que isso significa na prática: S_{xy} mede a covariância (produto das variações) entre x e y, S_{xx} mede a variabilidade de x. A inclinação a_{1} é a razão entre essas duas quantidades; depois usamos a_{0}=\bar{y}-a_{1}\bar{x} para posicionar a reta passando pelo ponto médio (\bar{x},\bar{y}).

Passo 3

Calculemos as somas necessárias (faço passo a passo para você poder reproduzir sem calculadora, usando frações quando útil).
Número de pontos:
n=4.
Soma das x_i:
\sum x_i = 1+2+4+6 = 13.
Soma das y_i (notei que o último valor é 0,5 na tabela, ou seja 0{,}5):
\sum y_i = 5 + 3 + 1 + 0{,}5 = 9{,}5.
Soma dos quadrados x_i^2:
\sum x_i^2 = 1^2 + 2^2 + 4^2 + 6^2 = 1 + 4 + 16 + 36 = 57.
Soma dos produtos x_i y_i:
\sum x_i y_i = 1\cdot5 + 2\cdot3 + 4\cdot1 + 6\cdot0{,}5 = 5 + 6 + 4 + 3 = 18.

Passo 4

Agora as médias:
\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{13}{4}=3{,}25,
\bar{y}=\frac{\sum y_i}{n}=\frac{9{,}5}{4}=2{,}375.

Passo 5

Calcule S_{xy} e S_{xx} substituindo nas fórmulas:
S_{xy}=\sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}=18 - 4\cdot(3{,}25)(2{,}375).
Calcule 4\cdot(3{,}25)(2{,}375). Primeiro (3{,}25)(2{,}375)=7{,}71875, logo 4\cdot7{,}71875=30{,}875. Portanto
S_{xy}=18-30{,}875=-12{,}875.
Agora S_{xx}:
S_{xx}=\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 57 - 4\cdot(3{,}25)^2.
Calcule (3{,}25)^2=10{,}5625, então 4\cdot10{,}5625=42{,}25. Assim
S_{xx}=57-42{,}25=14{,}75.

Passo 6

Agora a inclinação a_{1}:
a_{1}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{-12{,}875}{14{,}75}.
Para ver uma fração exata, notei que -12{,}875=-\tfrac{103}{8} e 14{,}75=\tfrac{59}{4}, então
a_{1}=-\frac{103}{118}\approx -0{,}8728813559\ldots
Arredondando para quatro casas decimais obtemos
a_{1}\approx -0{,}8729.

Passo 7

Intercepto a_{0}:
a_{0}=\bar{y}-a_{1}\bar{x}=2{,}375 - (-0{,}872881\ldots)(3{,}25).
Usando a fração exata a_{1}=-\tfrac{103}{118} e \bar{x}=\tfrac{13}{4} obtemos
a_{0}=\frac{19}{8} + \frac{103\cdot13}{118\cdot4}=\frac{1121+1339}{472}=\frac{2460}{472}=\frac{615}{118}\approx 5{,}2118644068\ldots
Arredondando para quatro casas decimais:
a_{0}\approx 5{,}2119.

Passo 8

A reta ajustada (valores arredondados para quatro casas decimais) é
y \approx 5{,}2119 - 0{,}8729\,x.
Comparando com as alternativas dadas, essa forma corresponde à alternativa (B).

Resposta

(B) y=5,2119-0,8729x

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