Utilizando a regra de
de Simpson com 8 subintervalos, qual é a aproximação da integral
com
em radianos?
a. 200.5919
b. 197.6506
c. 200.9881
d. 195.7895
e. 198.4856
a. 200.5919
b. 197.6506
c. 200.9881
d. 195.7895
e. 198.4856
Passo 1
O enunciado pede que a gente aproxime a integral
usando a regra de
de Simpson com
subintervalos. Informações relevantes que já temos:
A tarefa é aplicar a regra composta de Simpson e obter um valor numérico que corresponda a uma das alternativas fornecidas.
Passo 2
Vou lembrar a fórmula da regra composta de Simpson (essa é a “aulinha” rápida):
então
Explicando devagar:
é a largura de cada subintervalo; somamos os valores de
nas extremidades com peso 1, nos nós ímpares com peso 4 e nos nós pares internos com peso 2, multiplicamos tudo por
. A regra é linear, então podemos aplicar direto a
.
Passo 3
Calcular
e os pontos:
Os nós são
Passo 4
Calcular
em radianos (uso aproximações decimais das funções trigonométricas com precisão suficiente para a prova):
Observação rápida: os valores de
foram usados em radianos; alguns foram obtidos por identidades trigonométricas e aproximações numéricas com precisão suficiente para o cálculo.]
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula de Simpson. Primeiro os somatórios:
- Soma das extremidades:
- Soma dos índices ímpares
:
- Soma dos índices pares internos
:
Agora a combinação com os pesos
:
Passo 6
Multiplicando por
com
:
Arredondando para quatro casas decimais (como nas alternativas), isso dá
, que corresponde à alternativa (c).
Resposta
c.