Utilizando a regra de 1 / 3 de Simpson com 8 subintervalos, qual é a aproximação da integral \int_{0}^{20} x+\sin (x) com x em radianos?
a. 200.5919 \bigcirc
b. 197.6506 \bigcirc
c. 200.9881 \bigcirc
d. 195.7895 \bigcirc
e. 198.4856 \bigcirc

Passo 1

O enunciado pede que a gente aproxime a integral
\int_{0}^{20} \bigl(x+\sin(x)\bigr)\,dx
usando a regra de 1/3 de Simpson com 8 subintervalos. Informações relevantes que já temos:
a=0,\qquad b=20,\qquad n=8,\qquad f(x)=x+\sin(x).
A tarefa é aplicar a regra composta de Simpson e obter um valor numérico que corresponda a uma das alternativas fornecidas.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula da regra composta de Simpson (essa é a “aulinha” rápida):
\text{Se }h=\frac{b-a}{n}\text{ e }x_i=a+ih\\ (i=0,\dots,n),
então
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl(f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_i)+2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_i)\Bigr).í
Explicando devagar: h é a largura de cada subintervalo; somamos os valores de f nas extremidades com peso 1, nos nós ímpares com peso 4 e nos nós pares internos com peso 2, multiplicamos tudo por h/3. A regra é linear, então podemos aplicar direto a f(x)=x+\sin x.

Passo 3

Calcular h e os pontos:
h=\frac{20-0}{8}=\:2{,}5.
Os nós são
x_0=0,\; x_1=2{,}5,\; x_2=5,\; x_3=7{,}5,\; x_4=10,\; x_5=12{,}5,\; x_6=15,\; x_7=17{,}5,\; x_8=20.

Passo 4

Calcular f(x_i)=x_i+\sin(x_i) em radianos (uso aproximações decimais das funções trigonométricas com precisão suficiente para a prova):
\begin{aligned} f(x_0)&=0+\sin(0)=0,\\[4pt] f(x_1)&=2{,}5+\sin(2{,}5)=2{,}5+0{,}5984721441039565=3{,}0984721441039565,\\[4pt] f(x_2)&=5+\sin(5)=5-0{,}9589242746631385=4{,}0410757253368615,\\[4pt] f(x_3)&=7{,}5+\sin(7{,}5)=7{,}5+0{,}9379999767747389=8{,}437999976774739,\\[4pt] f(x_4)&=10+\sin(10)=10-0{,}5440211108893698=9{,}45597888911063,\\[4pt] f(x_5)&=12{,}5+\sin(12{,}5)=12{,}5-0{,}06632189782590485=12{,}433678102174095,\\[4pt] f(x_6)&=15+\sin(15)=15+0{,}6502878401571168=15{,}650287840157117,\\[4pt] f(x_7)&=17{,}5+\sin(17{,}5)=17{,}5-0{,}9756263395820989\approx16{,}524373660417901,\\[4pt] f(x_8)&=20+\sin(20)=20+0{,}9129452507276277=20{,}912945250727628. \end{aligned}
Observação rápida: os valores de \sin foram usados em radianos; alguns foram obtidos por identidades trigonométricas e aproximações numéricas com precisão suficiente para o cálculo.]

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de Simpson. Primeiro os somatórios:
  • Soma das extremidades:
f(x_0)+f(x_8)=0+20{,}912945250727628=20{,}912945250727628.
  • Soma dos índices ímpares i=1,3,5,7:
\begin{aligned} \sum_{\text{ímpares}} f(x_i)&=3{,}0984721441039565+8{,}437999976774739\\\ &\quad+12{,}433678102174095+16{,}524373660417901\\\ &=40{,}49452388347069. \end{aligned}í
  • Soma dos índices pares internos i=2,4,6:
\sum_{\text{pares}} f(x_i)=4{,}0410757253368615+9{,}45597888911063+15{,}650287840157117=29{,}14734245460461.
Agora a combinação com os pesos 1,4,2:
\begin{aligned} \text{Parênteses da regra} &= f(x_0)+f(x_8)+4\sum_{\text{ímpares}} f(x_i)+2\sum_{\text{pares}} f(x_i)\\[4pt] &=20{,}912945250727628+4\cdot 40{,}49452388347069+2\cdot 29{,}14734245460461\\[4pt] &=20{,}912945250727628+161{,}97809553388276+58{,}29468490920922\\[4pt] &=241{,}1857256938196. \end{aligned}êí]

Passo 6

Multiplicando por h/3 com h=2{,}5:
\frac{h}{3}=\frac{2{,}5}{3}=0{,}8333333333333333\ldots
\text{Aproximação pelo Simpson}=\frac{2{,}5}{3}\cdot 241{,}1857256938196 \approx 200{,}98810474484967.çã
Arredondando para quatro casas decimais (como nas alternativas), isso dá 200{,}9881, que corresponde à alternativa (c).

Resposta

c. 200{,}9881

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