Calcule uma aproximação numérica para as seguintes integrais, aplicando um método iterativo:
(4 subintervalos)
Passo 1
O enunciado pede uma aproximação numérica da integral
usando
subintervalos. Informações relevantes fornecidas:
O que se quer: um valor aproximado numérico da integral usando um método numérico composto com exatamente subintervalos.
O que se quer: um valor aproximado numérico da integral usando um método numérico composto com exatamente
Passo 2
Escolha do método e porquê (sem pular etapas): como o enunciado não exige um método específico, escolho a Regra de Simpson composta porque
- é simples de aplicar quando
é par (aqui é par); - costuma ser mais precisa que o trapézio com o mesmo número de subintervalos;
- exige apenas avaliar a função em nós igualmente espaçados (o que podemos calcular manualmente).
Vou explicar a Regra de Simpson composta e aplicá-la passo a passo.
Passo 3
Fórmula da Regra de Simpson composta e definições:
Seja e nós
para
A Regra de Simpson composta diz:
Seja
A Regra de Simpson composta diz:
Aqui:
-
é a largura de cada subintervalo; -
são os nós (pontos onde avaliamos ); - os coeficientes
são os pesos típicos de Simpson (4 para nós ímpares, 2 para nós pares internos).
Passo 4
Calcular
e os nós:
Os nós são
Passo 5
Avaliar
nos nós (aproveitando simetria):
A função é par: . Então
e
.
Calculemos:
A função é par:
Calculemos:
(Coloquei valores com várias casas decimais para manter precisão nos cálculos seguintes.)
Passo 6
Aplicar a fórmula de Simpson composta:
Substituindo na fórmula com e
:
Substituindo na fórmula com
Agora substituindo os valores:
Somando dentro do colchete:
Multiplicando por
:
Passo 7
Interpretação final e nota didática rápida:
A aproximação obtida pela Regra de Simpson composta com subintervalos é
. Para referência, a integral exata pode ser expressa em termos da função erro:
A aproximação obtida pela Regra de Simpson composta com
e o valor numérico exato (com mais precisão) é aproximadamente
, então a aproximação com
tem erro da ordem de
. Se você quiser mais precisão na prova, aumente
(p.ex.
ou
) ou use um método de refinamento (Romberg) — mas para exercícios em papel com pouco tempo, Simpson com
é um caminho direto e bem explicado passo a passo.