Calcule uma aproximação numérica para as seguintes integrais, aplicando um método iterativo:
\int_{-2}^{2} e^{-x^{2}} d x (4 subintervalos)

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação numérica da integral
\int_{-2}^{2} e^{-x^{2}}\,dx
usando 4 subintervalos. Informações relevantes fornecidas:
\;a=-2,\;b=2,\;n=4.
O que se quer: um valor aproximado numérico da integral usando um método numérico composto com exatamente 4 subintervalos.

Passo 2

Escolha do método e porquê (sem pular etapas): como o enunciado não exige um método específico, escolho a Regra de Simpson composta porque
  • é simples de aplicar quando n é par (aqui n=4 é par);
  • costuma ser mais precisa que o trapézio com o mesmo número de subintervalos;
  • exige apenas avaliar a função em nós igualmente espaçados (o que podemos calcular manualmente).
    Vou explicar a Regra de Simpson composta e aplicá-la passo a passo.

Passo 3

Fórmula da Regra de Simpson composta e definições:
Seja \;h=\dfrac{b-a}{n} e nós \;x_i=a+i h para i=0,\dots,n.
A Regra de Simpson composta diz:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_i)+2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_i)+f(x_n)\Bigr].í
Aqui:
  • h é a largura de cada subintervalo;
  • x_0,\dots,x_n são os nós (pontos onde avaliamos f);
  • os coeficientes 1,4,2,\dots,4,1 são os pesos típicos de Simpson (4 para nós ímpares, 2 para nós pares internos).

Passo 4

Calcular h e os nós:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-(-2)}{4}=\frac{4}{4}=1.
Os nós são
x_0=-2,\; x_1=-1,\; x_2=0,\; x_3=1,\; x_4=2.

Passo 5

Avaliar f(x)=e^{-x^2} nos nós (aproveitando simetria):
A função é par: f(-x)=f(x). Então f(-2)=f(2) e f(-1)=f(1).
Calculemos:
f(-2)=f(2)=e^{-4}\approx 0,01831563888873418,
f(-1)=f(1)=e^{-1}\approx 0,36787944117144233,
f(0)=e^{0}=1.
(Coloquei valores com várias casas decimais para manter precisão nos cálculos seguintes.)

Passo 6

Aplicar a fórmula de Simpson composta:
Substituindo na fórmula com h=1 e n=4:
\int_{-2}^{2} e^{-x^{2}}\,dx \approx \frac{1}{3}\bigl[f(x_0)+4(f(x_1)+f(x_3))+2 f(x_2)+f(x_4)\bigr].
Agora substituindo os valores:
f(x_0)+f(x_4)=e^{-4}+e^{-4}=2e^{-4}\approx 2\cdot 0,01831563888873418=0,03663127777746836,
4\bigl(f(x_1)+f(x_3)\bigr)=4\bigl(e^{-1}+e^{-1}\bigr)=4\cdot 2e^{-1}=8e^{-1}\approx 8\cdot 0,36787944117144233=2,9430355293715387,
2 f(x_2)=2\cdot 1=2.
Somando dentro do colchete:
S=0,03663127777746836+2,9430355293715387+2=4,979666807149007.
Multiplicando por h/3=1/3:
\frac{1}{3}S \approx \frac{1}{3}\cdot 4,979666807149007 \approx 1,6598889357163356.

Passo 7

Interpretação final e nota didática rápida:
A aproximação obtida pela Regra de Simpson composta com 4 subintervalos é \approx 1,6598889. Para referência, a integral exata pode ser expressa em termos da função erro:
\int_{-2}^{2} e^{-x^{2}}\,dx=\sqrt{\pi}\,\operatorname{erf}(2),
e o valor numérico exato (com mais precisão) é aproximadamente 1,76416, então a aproximação com n=4 tem erro da ordem de 10^{-1}. Se você quiser mais precisão na prova, aumente n (p.ex. n=8 ou n=16) ou use um método de refinamento (Romberg) — mas para exercícios em papel com pouco tempo, Simpson com n=4 é um caminho direto e bem explicado passo a passo.

Resposta

\displaystyle 1,6598889357163356

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