Usando um método iterativo, encontre o polinômio interpolador para o conjunto
Passo 1
O enunciado pede: "Usando um método iterativo, encontre o polinômio interpolador para o conjunto
".
Informações dadas (lista explícita dos pontos):
Informações dadas (lista explícita dos pontos):
Não há outras restrições dadas; o objetivo é achar um polinômio que passe por esses quatro pontos.
Passo 2
Vou usar um método iterativo clássico para interpolação que constrói o polinômio adicionando termos gradualmente: o polinômio de Newton obtido via diferenças divididas. Antes de calcular, explico a ideia e as fórmulas para você não se perder.
A ideia é construir um polinômio
na forma
onde
é o valor da função no ponto
(aqui
) e
é a diferença dividida de ordem
. As diferenças divididas são definidas recursivamente assim:
- Diferença dividida de ordem 0:
- Diferença dividida de ordem 1:
- Diferença dividida de ordem
:
Esse método é iterativo porque você calcula diferenças de ordem crescente e, a cada nova diferença, obtém mais um termo no polinômio. Agora vamos aplicar isso passo a passo aos pontos dados.
Passo 3
Organizo os pontos com índices:
;
;
;
.
Primeiro calculemos as diferenças divididas de primeira ordem usando a fórmula
Calculemos uma a uma:
Para
:
Para
:
Para
:
Resumindo as primeiras diferenças:
Passo 4
Agora as diferenças divididas de segunda ordem, usando
Para
:
Para
:
Resumindo as segundas diferenças:
Passo 5
Agora a diferença dividida de terceira ordem (última necessária, pois temos 4 pontos), usando
Calculamos:
Então temos a sequência de coeficientes (diferenças divididas iniciais) que entram no polinômio de Newton:
Passo 6
Agora montamos o polinômio de Newton usando esses coeficientes. A forma (para quatro pontos) é
Substituindo os valores que calculamos e
:
Passo 7
Agora façamos a álgebra para simplificar e obter a forma polinomial usual. Primeiro desenvolvo termo a termo:
Termos:
Calculo
passo a passo:
Somando todos os termos:
Agrupando termos semelhantes:
- Coeficiente de
: (vem de ). - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Constante:
.
Logo
Passo 8
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): avalie nos pontos dados:
Tudo confere; o polinômio encontrado interpola corretamente os quatro pontos.