Usando um método iterativo, encontre o polinômio interpolador para o conjunto
\{(0,-1),(1,0),(2,7),(3,26)\}

Passo 1

O enunciado pede: "Usando um método iterativo, encontre o polinômio interpolador para o conjunto \{(0,-1),(1,0),(2,7),(3,26)\}".
Informações dadas (lista explícita dos pontos):
(0,-1),\quad (1,0),\quad (2,7),\quad (3,26).
Não há outras restrições dadas; o objetivo é achar um polinômio que passe por esses quatro pontos.

Passo 2

Vou usar um método iterativo clássico para interpolação que constrói o polinômio adicionando termos gradualmente: o polinômio de Newton obtido via diferenças divididas. Antes de calcular, explico a ideia e as fórmulas para você não se perder.
A ideia é construir um polinômio P(x) na forma
P(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots,
onde f[x_i] é o valor da função no ponto x_i (aqui f[x_i]=y_i) e f[x_i,x_{i+1},\dots,x_{i+k}] é a diferença dividida de ordem k. As diferenças divididas são definidas recursivamente assim:
  • Diferença dividida de ordem 0:
f[x_i]=f(x_i).
  • Diferença dividida de ordem 1:
f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}.
  • Diferença dividida de ordem k\ge 2:
f[x_i,\dots,x_{i+k}]=\frac{f[x_{i+1},\dots,x_{i+k}]-f[x_i,\dots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}.
Esse método é iterativo porque você calcula diferenças de ordem crescente e, a cada nova diferença, obtém mais um termo no polinômio. Agora vamos aplicar isso passo a passo aos pontos dados.

Passo 3

Organizo os pontos com índices: x_0=0,\; f[x_0]=-1; x_1=1,\; f[x_1]=0; x_2=2,\; f[x_2]=7; x_3=3,\; f[x_3]=26.
Primeiro calculemos as diferenças divididas de primeira ordem usando a fórmula
f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}.
Calculemos uma a uma:
Para i=0:
f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=\frac{0-(-1)}{1-0}=\frac{1}{1}=1.
Para i=1:
f[x_1,x_2]=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{7-0}{2-1}=\frac{7}{1}=7.
Para i=2:
f[x_2,x_3]=\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}=\frac{26-7}{3-2}=\frac{19}{1}=19.
Resumindo as primeiras diferenças:
f[x_0,x_1]=1,\quad f[x_1,x_2]=7,\quad f[x_2,x_3]=19.

Passo 4

Agora as diferenças divididas de segunda ordem, usando
f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}.
Para i=0:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\frac{7-1}{2-0}=\frac{6}{2}=3.
Para i=1:
f[x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{x_3-x_1}=\frac{19-7}{3-1}=\frac{12}{2}=6.
Resumindo as segundas diferenças:
f[x_0,x_1,x_2]=3,\quad f[x_1,x_2,x_3]=6.

Passo 5

Agora a diferença dividida de terceira ordem (última necessária, pois temos 4 pontos), usando
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}.
Calculamos:
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{6-3}{3-0}=\frac{3}{3}=1.
Então temos a sequência de coeficientes (diferenças divididas iniciais) que entram no polinômio de Newton:
f[x_0]=-1,\quad f[x_0,x_1]=1,\quad f[x_0,x_1,x_2]=3,\quad f[x_0,x_1,x_2,x_3]=1.

Passo 6

Agora montamos o polinômio de Newton usando esses coeficientes. A forma (para quatro pontos) é
P(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).
Substituindo os valores que calculamos e x_0=0,\;x_1=1,\;x_2=2:
P(x)=-1 + 1\cdot(x-0) + 3\cdot(x-0)(x-1) + 1\cdot(x-0)(x-1)(x-2).

Passo 7

Agora façamos a álgebra para simplificar e obter a forma polinomial usual. Primeiro desenvolvo termo a termo:
Termos:
-1
+ (x-0)=x
+ 3(x-0)(x-1)=3(x^2-x)=3x^2-3x
+ (x-0)(x-1)(x-2).
Calculo (x-0)(x-1)(x-2) passo a passo:
(x-0)(x-1)=x^2-x,
(x^2-x)(x-2)=x^3-2x^2 - x^2 + 2x = x^3 -3x^2 + 2x.
Somando todos os termos:
P(x) = -1 + x + (3x^2-3x) + (x^3 -3x^2 +2x).
Agrupando termos semelhantes:
  • Coeficiente de x^3: 1 (vem de x^3).
  • Coeficiente de x^2: 3x^2 -3x^2 = 0.
  • Coeficiente de x: x -3x +2x = 0.
  • Constante: -1.
Logo
P(x)=x^3-1.

Passo 8

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): avalie nos pontos dados:
P(0)=0^3-1=-1\quad(\text{ok}),
P(1)=1^3-1=0\quad(\text{ok}),
P(2)=8-1=7\quad(\text{ok}),
P(3)=27-1=26\quad(\text{ok}).
Tudo confere; o polinômio encontrado interpola corretamente os quatro pontos.

Resposta

P(x)=x^3-1

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