Usando um método iterativo, encontre o polinômio interpolador para o conjunto
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o polinômio interpolador para o conjunto de pontos
.
Informações dadas:
Informações dadas:
O que se quer é um polinômio
que satisfaça
e
.
Passo 2
Escolhemos construir o polinómio usando a forma iterativa (forma de Newton) para interpolação — isto é um método que constrói o polinómio adicionando termos progressivamente. Para dois pontos o polinómio terá grau no máximo
(uma reta). A forma de Newton para grau
é
onde:
-
é o valor da função no primeiro nó, isto é ; -
é a diferença dividida de primeira ordem entre e , definida por
Interpretacão intuitiva:
é a inclinação da reta secante que passa pelos dois pontos — exatamente o coeficiente angular da reta interpoladora.
Passo 3
Calculemos as diferenças divididas com os pontos fornecidos. Primeiro:
Agora a diferença dividida de primeira ordem:
Expliquei: subtraímos as ordenadas e dividimos pela diferença das abscissas; isso dá a inclinação.
Passo 4
Substituímos esses valores na forma de Newton:
Agora simplificamos para uma forma mais comum. Primeiro distribuindo:
Colocando em uma só fração (denominador
):
Outra forma equivalente, em forma afim, é
Passo 5
Verificação rápida (para ter confiança, útil na prova): avaliar nos nós originais.
Confere com os pontos dados, logo está correto.