Usando um método iterativo, encontre o polinômio interpolador para o conjunto
\{(-3,5),(1,4)\}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o polinômio interpolador para o conjunto de pontos \{(-3,5),(1,4)\}.
Informações dadas:
(x_0,y_0)=(-3,5),\qquad (x_1,y_1)=(1,4).
O que se quer é um polinômio P(x) que satisfaça P(-3)=5 e P(1)=4.

Passo 2

Escolhemos construir o polinómio usando a forma iterativa (forma de Newton) para interpolação — isto é um método que constrói o polinómio adicionando termos progressivamente. Para dois pontos o polinómio terá grau no máximo 1 (uma reta). A forma de Newton para grau 1 é
P_1(x)=f[x_0] + f[x_0,x_1]\,(x-x_0),
onde:
  • f[x_0] é o valor da função no primeiro nó, isto é f[x_0]=y_0;
  • f[x_0,x_1] é a diferença dividida de primeira ordem entre x_0 e x_1, definida por
f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.
Interpretacão intuitiva: f[x_0,x_1] é a inclinação da reta secante que passa pelos dois pontos — exatamente o coeficiente angular da reta interpoladora.

Passo 3

Calculemos as diferenças divididas com os pontos fornecidos. Primeiro:
f[x_0]=y_0=5,\qquad f[x_1]=y_1=4.
Agora a diferença dividida de primeira ordem:
f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=\frac{4-5}{1-(-3)}=\frac{-1}{4}=-\tfrac{1}{4}.
Expliquei: subtraímos as ordenadas e dividimos pela diferença das abscissas; isso dá a inclinação.

Passo 4

Substituímos esses valores na forma de Newton:
P_1(x)=5 + \left(-\tfrac{1}{4}\right)(x-(-3))=5 - \tfrac{1}{4}(x+3).
Agora simplificamos para uma forma mais comum. Primeiro distribuindo:
P_1(x)=5 - \tfrac{1}{4}x - \tfrac{3}{4}.
Colocando em uma só fração (denominador 4):
P_1(x)=\frac{20}{4} - \frac{x}{4} - \frac{3}{4}=\frac{17 - x}{4}.
Outra forma equivalente, em forma afim, é
P_1(x)=-\tfrac{1}{4}x + \tfrac{17}{4}.

Passo 5

Verificação rápida (para ter confiança, útil na prova): avaliar nos nós originais.
P_1(-3)=-\tfrac{1}{4}(-3)+\tfrac{17}{4}=\tfrac{3}{4}+\tfrac{17}{4}=\tfrac{20}{4}=5,
P_1(1)=-\tfrac{1}{4}(1)+\tfrac{17}{4}=-\tfrac{1}{4}+\tfrac{17}{4}=\tfrac{16}{4}=4.
Confere com os pontos dados, logo está correto.

Resposta

P(x)=-\tfrac{1}{4}x+\tfrac{17}{4}

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