O zero da função f(x)=\operatorname{arctg}(x) é x^{*}=0. Considere o método de NewtonRaphson. Verifique se:
x_{o}=1.5 então a sequência diverge.

Passo 1

O enunciado dá f(x)=\operatorname{arctg}(x), cujo zero é x^*=0, e pede para verificar que, aplicando o método de Newton–Raphson com x_0=1,5, a sequência diverge. Vamos usar o critério de convergência local baseado na derivada da função de iteração.

Passo 2

A iteração de Newton–Raphson é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Como f'(x)=\frac{1}{1+x^2}, obtemos
x_{n+1} = x_n - (1+x_n^2)\,\operatorname{arctg}(x_n).
Definimos então
g(x)=x-(1+x^2)\,\operatorname{arctg}(x).

Passo 3

Calculamos a derivada de g:
g'(x) =1-\Bigl[2x\,\operatorname{arctg}(x)+(1+x^2)\,\frac1{1+x^2}\Bigr] =1-\bigl[2x\,\operatorname{arctg}(x)+1\bigr] =-2x\,\operatorname{arctg}(x).
Em x_0=1,5 isso vale
\bigl|g'(1,5)\bigr| =2\cdot1,5\cdot\operatorname{arctg}(1,5) \approx2,9484>1.

Passo 4

Quando \bigl|g'(x_0)\bigr|>1, o critério de convergência local do método falha e a iteração se afasta do zero. De fato, calculando alguns termos:
x_1\approx-1,6959,\quad x_2\approx2,3474,\quad x_3\approx-5,2595,\;\dots
vemos que o módulo cresce e a sequência não converge.

Resposta

A sequência de Newton–Raphson com x_0=1,5 diverge.

Exercícios relacionados