3 Calcule uma aproximação para
no PVI
utilizando 5 intervalos.
Passo 1
O enunciado pede: aproximar o valor de
para o problema de valor inicial (PVI)
usando
intervalos no intervalo
.
Informações dadas:
Precisamos dividir o intervalo de
entre
e
em
subintervalos e aplicar um método numérico para obter a aproximação pedida.
Passo 2
Escolha do método: o enunciado não exige método específico. Vou usar o método de Euler explícito (método mais básico), porque é o mais simples de executar à mão, é adequado para uma aproximação rápida em poucos passos e é o conteúdo introdutório típico em provas. Se precisasse de maior precisão eu poderia usar Euler melhorado ou Runge–Kutta, mas isso daria contas extras que normalmente não são exigidas a menos que o enunciado peça.
Passo 3
Explicando o método de Euler (aula rápida):
- Temos um PVI
com condição inicial . - O método de Euler avança do ponto
para usando a fórmula
onde
é o tamanho do passo e
é a função que dá a derivada.
- Aqui
. A ideia é aproximar a derivada por uma constante no intervalo e avançar linearmente — é como seguir a reta tangente por um pequeno passo.
Passo 4
Calcular o passo
e os nós:
- O intervalo é
e queremos intervalos, então
- Os pontos
serão
- Começamos com
. Em cada passo aplicamos com .
Passo 5
Cálculo do primeiro passo
:
-
. - Calcular
. - Aplicando Euler:
Logo
em
.
Passo 6
Cálculo do segundo passo
:
-
. - Calcular
. - Aplicando Euler:
Logo
em
.
Passo 7
Cálculo do terceiro passo
:
-
. - Calcular
- Aplicando Euler:
Logo
em
.
Passo 8
Cálculo do quarto passo
:
-
. - Calcular
- Aplicando Euler:
Logo
em
.
Passo 9
Cálculo do quinto passo
:
-
. - Calcular
- Aplicando Euler:
Portanto a aproximação em
é
.
Passo 10
Para dar contexto rápido: podemos resolver o PVI exatamente (curta aula de EDO linear):
- A EDO é
. Fator integrante leva a
- Integrando:
. Logo . - Usando
dá . Assim solução exata:
- Avaliando em
:
Comparando, o método de Euler com 5 passos deu
, um erro aproximado de
. Isso mostra que o Euler explícito subestimou um pouco aqui — era esperado, e é por isso que métodos mais sofisticados dão melhores aproximações com o mesmo número de passos.