3 Calcule uma aproximação para y(0.5) no PVI
y^{\prime}=-y+x+2, \quad y(0)=2,
utilizando 5 intervalos.

Passo 1

O enunciado pede: aproximar o valor de y(0,5) para o problema de valor inicial (PVI)
y' = -y + x + 2,\qquad y(0)=2,
usando 5 intervalos no intervalo [0,0,5].
Informações dadas:
y'(x)= -y(x) + x + 2,\quad y(0)=2,\quad\text{queremos }y(0,5).
Precisamos dividir o intervalo de x entre 0 e 0,5 em 5 subintervalos e aplicar um método numérico para obter a aproximação pedida.

Passo 2

Escolha do método: o enunciado não exige método específico. Vou usar o método de Euler explícito (método mais básico), porque é o mais simples de executar à mão, é adequado para uma aproximação rápida em poucos passos e é o conteúdo introdutório típico em provas. Se precisasse de maior precisão eu poderia usar Euler melhorado ou Runge–Kutta, mas isso daria contas extras que normalmente não são exigidas a menos que o enunciado peça.

Passo 3

Explicando o método de Euler (aula rápida):
  • Temos um PVI y' = f(x,y) com condição inicial y(x_0)=y_0.
  • O método de Euler avança do ponto (x_n,y_n) para (x_{n+1},y_{n+1}) usando a fórmula
y_{n+1}=y_n + h\,f(x_n,y_n),
onde h é o tamanho do passo e f(x,y) é a função que dá a derivada.
  • Aqui f(x,y) = -y + x + 2. A ideia é aproximar a derivada por uma constante no intervalo e avançar linearmente — é como seguir a reta tangente por um pequeno passo.

Passo 4

Calcular o passo h e os nós:
  • O intervalo é [0,0,5] e queremos 5 intervalos, então
h = \frac{0,5-0}{5} = 0,1.
  • Os pontos x_n serão
x_0=0,\; x_1=0,1,\; x_2=0,2,\; x_3=0,3,\; x_4=0,4,\; x_5=0,5.
  • Começamos com y_0=2. Em cada passo aplicamos y_{n+1}=y_n + 0,1\cdot f(x_n,y_n) com f(x,y)=-y+x+2.

Passo 5

Cálculo do primeiro passo n=0\to1:
  • x_0=0,\; y_0=2.
  • Calcular f(x_0,y_0)= -y_0 + x_0 + 2 = -2 + 0 + 2 = 0.
  • Aplicando Euler:
y_1 = y_0 + 0,1\cdot f(x_0,y_0) = 2 + 0,1\cdot 0 = 2.
Logo y_1=2 em x_1=0,1.

Passo 6

Cálculo do segundo passo n=1\to2:
  • x_1=0,1,\; y_1=2.
  • Calcular f(x_1,y_1)= -2 + 0,1 + 2 = 0,1.
  • Aplicando Euler:
y_2 = y_1 + 0,1\cdot 0,1 = 2 + 0,01 = 2,01.
Logo y_2=2,01 em x_2=0,2.

Passo 7

Cálculo do terceiro passo n=2\to3:
  • x_2=0,2,\; y_2=2,01.
  • Calcular f(x_2,y_2)= -2,01 + 0,2 + 2 = 0,19.
  • Aplicando Euler:
y_3 = y_2 + 0,1\cdot 0,19 = 2,01 + 0,019 = 2,029.
Logo y_3=2,029 em x_3=0,3.

Passo 8

Cálculo do quarto passo n=3\to4:
  • x_3=0,3,\; y_3=2,029.
  • Calcular f(x_3,y_3)= -2,029 + 0,3 + 2 = 0,271.
  • Aplicando Euler:
y_4 = y_3 + 0,1\cdot 0,271 = 2,029 + 0,0271 = 2,0561.
Logo y_4=2,0561 em x_4=0,4.

Passo 9

Cálculo do quinto passo n=4\to5:
  • x_4=0,4,\; y_4=2,0561.
  • Calcular f(x_4,y_4)= -2,0561 + 0,4 + 2 = 0,3439.
  • Aplicando Euler:
y_5 = y_4 + 0,1\cdot 0,3439 = 2,0561 + 0,03439 = 2,09049.
Portanto a aproximação em x_5=0,5 é y_5\approx 2,09049.

Passo 10

Para dar contexto rápido: podemos resolver o PVI exatamente (curta aula de EDO linear):
  • A EDO é y'+y = x+2. Fator integrante e^{x} leva a
(y e^{x})'=(x+2)e^{x}.
  • Integrando: \int (x+2)e^{x}dx = (x+1)e^{x} + C. Logo y = x+1 + C e^{-x}.
  • Usando y(0)=2 2=0+1+C\Rightarrow C=1. Assim solução exata:
y(x)=x+1+e^{-x}.
  • Avaliando em x=0,5:
y(0,5)=0,5+1+e^{-0,5}\approx 1,5 + 0,60653 = 2,10653\ldots
Comparando, o método de Euler com 5 passos deu 2,09049, um erro aproximado de 2,10653-2,09049\approx 0,01604. Isso mostra que o Euler explícito subestimou um pouco aqui — era esperado, e é por isso que métodos mais sofisticados dão melhores aproximações com o mesmo número de passos.

Resposta

\;y(0,5)\approx 2,09049

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