2 Estime o valor de
, onde
é solução do PVI
comparando as aproximações obtidas usando subintervalos de tamanhos
.
Passo 1
O enunciado pede para estimar o valor de
, onde
satisfaz o problema de valor inicial
As informações relevantes são:
- A equação diferencial:
. - A condição inicial:
. - O ponto onde queremos a solução:
. - Devemos comparar aproximações usando subintervalos de tamanhos
, e .
Nenhuma outra informação ou figura foi dada.
Passo 2
Escolho usar o método explícito de Euler (método de avanço mais básico) porque o enunciado só pede estimativas de
com vários tamanhos de passo e a regra do problema indica preferir métodos básicos quando não há indicação contrária. Vou explicar o método com calma.
A ideia do método de Euler é aproximar a derivada por diferença finita: em pontos
e
usamos
Rearranjando e usando
, obtemos a fórmula de atualização
Aqui:
-
é o tamanho do passo (subintervalo), -
é o nó , -
é a aproximação de , -
(pela equação dada).
Começamos em
com
e aplicamos a fórmula repetidamente até
. O número de passos é
.
Passo 3
Cálculo para
.
Aqui passos.
Aqui
n
:
,
.
n
:
,
.
Portanto, a aproximação com
é
.
Passo 4
Cálculo para
.
Aqui passos.
Aqui
n
:
,
.
n
:
,
.
n
:
,
.
n
:
,
.
n
:
,
.
Portanto, a aproximação com
é
.
Passo 5
Cálculo para
.
Aqui passos. Vou listar cada iteração (valores com muitos dígitos para transparência):
Aqui
n
:
,
.
n
:
,
.
n
:
,
.
n
:
,
.
n
:
,
.
n
:
,
.
n
:
,
.
n
:
,
.
n
:
,
.
n
:
,
.
Portanto, a aproximação com
é
.
Passo 6
Para entender a qualidade das aproximações, é útil conhecer a solução exata (método do fator integrante). A equação linear pode ser escrita como
O fator integrante é
. Multiplicando a equação por
obtemos
Integrando de
a
e usando
,
logo
Para
podemos aproximar
por desenvolvimento em série:
. Com isso
Agora os erros (diferença entre a solução exata e cada aproximação):
Observação final e incentivo: conforme esperado, diminuindo
a aproximação melhora. Você já fez o trabalho de ver passo a passo — ótimo! Isso é exatamente o que costuma dar segurança na prova.