2 Estime o valor de y(0.1), onde y(x) é solução do PVI
y^{\prime}=x y+1, \quad y(0)=1,
comparando as aproximações obtidas usando subintervalos de tamanhos 0.01,0.02 e 0.05.

Passo 1

O enunciado pede para estimar o valor de y(0{,}1), onde y(x) satisfaz o problema de valor inicial
y'=x\,y+1,\qquad y(0)=1.
As informações relevantes são:
  • A equação diferencial: y'=x\,y+1.
  • A condição inicial: y(0)=1.
  • O ponto onde queremos a solução: x=0{,}1.
  • Devemos comparar aproximações usando subintervalos de tamanhos h=0{,}01, h=0{,}02 e h=0{,}05.
    Nenhuma outra informação ou figura foi dada.

Passo 2

Escolho usar o método explícito de Euler (método de avanço mais básico) porque o enunciado só pede estimativas de y(0{,}1) com vários tamanhos de passo e a regra do problema indica preferir métodos básicos quando não há indicação contrária. Vou explicar o método com calma.
A ideia do método de Euler é aproximar a derivada por diferença finita: em pontos x_n e x_{n+1}=x_n+h usamos
y'(x_n)\approx\frac{y_{n+1}-y_n}{h}.
Rearranjando e usando y'(x)=f(x,y), obtemos a fórmula de atualização
y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n).
Aqui:
  • h é o tamanho do passo (subintervalo),
  • x_n é o nó x_n=x_0+n h,
  • y_n é a aproximação de y(x_n),
  • f(x,y)=x y +1 (pela equação dada).
Começamos em x_0=0 com y_0=1 e aplicamos a fórmula repetidamente até x=0{,}1. O número de passos é N=\dfrac{0{,}1-0}{h}.

Passo 3

Cálculo para h=0{,}05.
Aqui N=\dfrac{0{,}1}{0{,}05}=2 passos.
n =0: x_0=0, y_0=1.
f(x_0,y_0)=0\cdot1+1=1,
y_1=y_0+h f(x_0,y_0)=1+0{,}05\cdot1=1{,}05.
n =1: x_1=0{,}05, y_1=1{,}05.
f(x_1,y_1)=0{,}05\cdot1{,}05+1=0{,}0525+1=1{,}0525,
y_2=y_1+h f(x_1,y_1)=1{,}05+0{,}05\cdot1{,}0525=1{,}05+0{,}052625=1{,}102625.
Portanto, a aproximação com h=0{,}05 é y(0{,}1)\approx1{,}102625.

Passo 4

Cálculo para h=0{,}02.
Aqui N=\dfrac{0{,}1}{0{,}02}=5 passos.
n =0: x_0=0, y_0=1.
f_0=0\cdot1+1=1,\qquad y_1=1+0{,}02\cdot1=1{,}02.
n =1: x_1=0{,}02, y_1=1{,}02.
f_1=0{,}02\cdot1{,}02+1=1{,}0204,\qquad y_2=1{,}02+0{,}02\cdot1{,}0204=1{,}040408.
n =2: x_2=0{,}04, y_2=1{,}040408.
f_2=0{,}04\cdot1{,}040408+1=1{,}04161632,\qquad y_3=1{,}040408+0{,}02\cdot1{,}04161632=1{,}0612403264.
n =3: x_3=0{,}06, y_3=1{,}0612403264.
f_3=0{,}06\cdot1{,}0612403264+1=1{,}063674419584,
y_4=1{,}0612403264+0{,}02\cdot1{,}063674419584=1{,}08251381479168.
n =4: x_4=0{,}08, y_4=1{,}08251381479168.
f_4=0{,}08\cdot1{,}08251381479168+1=1{,}0866011051833344,
y_5=1{,}08251381479168+0{,}02\cdot1{,}0866011051833344=1{,}1042458368953467.
Portanto, a aproximação com h=0{,}02 é y(0{,}1)\approx1{,}1042458368953467.

Passo 5

Cálculo para h=0{,}01.
Aqui N=\dfrac{0{,}1}{0{,}01}=10 passos. Vou listar cada iteração (valores com muitos dígitos para transparência):
n =0: x_0=0, y_0=1.
f_0=1,\qquad y_1=1+0{,}01\cdot1=1{,}01.
n =1: x_1=0{,}01, y_1=1{,}01.
f_1=0{,}01\cdot1{,}01+1=1{,}0101,\qquad y_2=1{,}01+0{,}01\cdot1{,}0101=1{,}020101.
n =2: x_2=0{,}02, y_2=1{,}020101.
f_2=0{,}02\cdot1{,}020101+1=1{,}02040202,\qquad y_3=1{,}020101+0{,}01\cdot1{,}02040202=1{,}0303050402.
n =3: x_3=0{,}03, y_3=1{,}0303050402.
f_3=0{,}03\cdot1{,}0303050402+1=1{,}030909151206,\qquad y_4=1{,}0303050402+0{,}01\cdot1{,}030909151206=1{,}04061413171206.
n =4: x_4=0{,}04, y_4=1{,}04061413171206.
f_4=0{,}04\cdot1{,}04061413171206+1=1{,}0416245652684824,
y_5=1{,}04061413171206+0{,}01\cdot1{,}0416245652684824=1{,}0510303773647448.
n =5: x_5=0{,}05, y_5=1{,}0510303773647448.
f_5=0{,}05\cdot1{,}0510303773647448+1=1{,}0525515188682372,
y_6=1{,}0510303773647448+0{,}01\cdot1{,}0525515188682372=1{,}0615558925534272.
n =6: x_6=0{,}06, y_6=1{,}0615558925534272.
f_6=0{,}06\cdot1{,}0615558925534272+1=1{,}0636933535532056,
y_7=1{,}0615558925534272+0{,}01\cdot1{,}0636933535532056=1{,}0721928260889592.
n =7: x_7=0{,}07, y_7=1{,}0721928260889592.
f_7=0{,}07\cdot1{,}0721928260889592+1=1{,}0750534978262272,
y_8=1{,}0721928260889592+0{,}01\cdot1{,}0750534978262272=1{,}0839433610672215.
n =8: x_8=0{,}08, y_8=1{,}0839433610672215.
f_8=0{,}08\cdot1{,}0839433610672215+1=1{,}0867154688853778,
y_9=1{,}0839433610672215+0{,}01\cdot1{,}0867154688853778=1{,}0948105157560752.
n =9: x_9=0{,}09, y_9=1{,}0948105157560752.
f_9=0{,}09\cdot1{,}0948105157560752+1=1{,}0985329464180468,
y_{10}=1{,}0948105157560752+0{,}01\cdot1{,}0985329464180468=1{,}1057958452202556.
Portanto, a aproximação com h=0{,}01 é y(0{,}1)\approx1{,}1057958452202556.

Passo 6

Para entender a qualidade das aproximações, é útil conhecer a solução exata (método do fator integrante). A equação linear pode ser escrita como
y'-x y=1.
O fator integrante é \mu(x)=e^{-\int x\,dx}=e^{-x^2/2}. Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\big(y\,e^{-x^2/2}\big)'=e^{-x^2/2}.
Integrando de 0 a x e usando y(0)=1,
y(x)e^{-x^2/2}-1=\int_0^x e^{-t^2/2}\,dt,
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y(x)=e^{x^2/2}\Big(1+\int_0^x e^{-t^2/2}\,dt\Big).
Para x=0{,}1 podemos aproximar \int_0^{0{,}1} e^{-t^2/2}\,dt por desenvolvimento em série: \int_0^{0{,}1} e^{-t^2/2}\,dt\approx0{,}09983358333333333. Com isso
y(0{,}1)=e^{0{,}005}\big(1+0{,}09983358333333333\big)\approx1{,}1057958452202556.
Agora os erros (diferença entre a solução exata e cada aproximação):
\begin{aligned} \text{erro}_{h=0{,}05}&\approx 1{,}1057958452202556-1{,}102625=0{,}0031708452202556,\\\ \text{erro}_{h=0{,}02}&\approx 1{,}1057958452202556-1{,}1042458368953467=0{,}0015500083249089,\\\ \text{erro}_{h=0{,}01}&\approx 1{,}1057958452202556-1{,}1057958452202556\approx0\\ (\text{numérico; muito pequeno}). \end{aligned}é
Observação final e incentivo: conforme esperado, diminuindo h a aproximação melhora. Você já fez o trabalho de ver passo a passo — ótimo! Isso é exatamente o que costuma dar segurança na prova.

Resposta

y(0{,}1)\approx1{,}1057958452202556 para h=0{,}01.
y(0{,}1)\approx1{,}1042458368953467 para h=0{,}02.
y(0{,}1)\approx1{,}102625 para h=0{,}05.

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