4 Obtenha uma solução aproximada para o PVI
no intervalo
com 5 intervalos.
Passo 1
O enunciado pede uma solução aproximada do problema de valor inicial
no intervalo
utilizando
intervalos. Informações dadas e perguntas claras:
- Função do campo:
. - Condição inicial:
. - Intervalo:
. - Número de intervalos:
.
O que se espera: uma aproximação dos valores denos pontos da malha uniforme que divide em subintervalos (ou seja, nos pontos ).
Passo 2
Escolha do método e motivação (seguindo o critério “usar método básico”): vou usar o método de Euler explícito (método mais básico e direto para PVI). Explico a fórmula e o que cada símbolo significa:
Aqui:
-
é o passo (tamanho do subintervalo), dado por . -
é o n-ésimo nó da malha: . -
é a aproximação para . -
é o lado direito do PVI, neste caso .
Calculemospara o nosso problema:
A malha é
Passo 3
Iteração
. Valores iniciais:
Calcule
:
Aplicando Euler:
Passo 4
Iteração
. Temos
.
Calcule :
Calcule
Aplicando Euler:
Passo 5
Iteração
. Temos
.
Calcule :
Calcule
Calculando
(explicação rápida:
):
Aplicando Euler:
Passo 6
Iteração
. Temos
.
Calcule :
Calcule
Calculando
(truque:
, então
; com
obtemos
):
Aplicando Euler:
Passo 7
Iteração
. Temos
.
Calcule :
Calcule
Calculando
(truque:
está muito perto de
; usando expansão
com
obtemos
):
Aplicando Euler para obter o ponto final
:
Passo 8
Resumo dos valores aproximados em cada nó da malha (repetindo os resultados calculados, para ficar bem claro o que você levaria para a prova):
Observação rápida (didática): o método de Euler é simples e rápido, mas tem precisão limitada (erro global da ordem de
). Se quiser melhor precisão na prova sem muito esforço extra, vale aprender o método de Euler melhorado (Heun) ou Runge–Kutta de ordem 4, que reduzem bastante o erro com passos parecidos.