4 Obtenha uma solução aproximada para o PVI
y^{\prime}=x^{2}+y^{2}, \quad y(0)=1
no intervalo [0,1] com 5 intervalos.

Passo 1

O enunciado pede uma solução aproximada do problema de valor inicial
y^{\prime}=x^{2}+y^{2},\qquad y(0)=1
no intervalo [0,1] utilizando 5 intervalos. Informações dadas e perguntas claras:
  • Função do campo: f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • Condição inicial: y(0)=1.
  • Intervalo: [0,1].
  • Número de intervalos: 5.
    O que se espera: uma aproximação dos valores de y nos pontos da malha uniforme que divide [0,1] em 5 subintervalos (ou seja, nos pontos x_{0},x_{1},\dots,x_{5}).

Passo 2

Escolha do método e motivação (seguindo o critério “usar método básico”): vou usar o método de Euler explícito (método mais básico e direto para PVI). Explico a fórmula e o que cada símbolo significa:
y_{n+1}=y_{n}+h\,f(x_{n},y_{n}).
Aqui:
  • h é o passo (tamanho do subintervalo), dado por h=(b-a)/N.
  • x_{n} é o n-ésimo nó da malha: x_{n}=a+n h.
  • y_{n} é a aproximação para y(x_{n}).
  • f(x,y) é o lado direito do PVI, neste caso f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
    Calculemos h para o nosso problema:
h=\frac{1-0}{5}=0,2.
A malha é \;x_{0}=0,\;x_{1}=0,2,\;x_{2}=0,4,\;x_{3}=0,6,\;x_{4}=0,8,\;x_{5}=1,0.

Passo 3

Iteração n=0\to1. Valores iniciais:
x_{0}=0,\qquad y_{0}=1.
Calcule f(x_{0},y_{0}):
f(x_{0},y_{0})=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=0^{2}+1^{2}=1.
Aplicando Euler:
y_{1}=y_{0}+h\,f(x_{0},y_{0})=1+0,2\cdot 1=1+0,2=1,2.

Passo 4

Iteração n=1\to2. Temos x_{1}=0,2,\;y_{1}=1,2.
Calcule f(x_{1},y_{1}):
f(x_{1},y_{1})=0,2^{2}+1,2^{2}=0,04+1,44=1,48.
Aplicando Euler:
y_{2}=y_{1}+h\,f(x_{1},y_{1})=1,2+0,2\cdot 1,48=1,2+0,296=1,496.

Passo 5

Iteração n=2\to3. Temos x_{2}=0,4,\;y_{2}=1,496.
Calcule f(x_{2},y_{2}):
f(x_{2},y_{2})=0,4^{2}+1,496^{2}=0,16+ (1,496)^{2}.
Calculando (1,496)^{2} (explicação rápida: (1,496)^{2}=(1,5-0,004)^{2}=2,25-0,012+0,000016=2,238016):
f(x_{2},y_{2})=0,16+2,238016=2,398016.
Aplicando Euler:
y_{3}=y_{2}+h\,f(x_{2},y_{2})=1,496+0,2\cdot 2,398016=1,496+0,4796032=1,9756032.

Passo 6

Iteração n=3\to4. Temos x_{3}=0,6,\;y_{3}=1,9756032.
Calcule f(x_{3},y_{3}):
f(x_{3},y_{3})=0,6^{2}+1,9756032^{2}=0,36+(1,9756032)^{2}.
Calculando (1,9756032)^{2} (truque: 1,9756032\approx 2-0,0243968, então (2-a)^{2}=4-4a+a^{2}; com a=0,0243968 obtemos \approx 3,90300793):
f(x_{3},y_{3})\approx 0,36+3,90300793=4,26300793.
Aplicando Euler:
y_{4}=y_{3}+h\,f(x_{3},y_{3})\approx 1,9756032+0,2\cdot 4,26300793
y_{4}\approx 1,9756032+0,852601586=2,828204786.

Passo 7

Iteração n=4\to5. Temos x_{4}=0,8,\;y_{4}\approx 2,828204786.
Calcule f(x_{4},y_{4}):
f(x_{4},y_{4})=0,8^{2}+2,828204786^{2}=0,64+(2,828204786)^{2}.
Calculando (2,828204786)^{2} (truque: 2,828204786 está muito perto de \sqrt{8}\approx 2,828427125; usando expansão (\sqrt{8}+d)^{2}=8+2\sqrt{8}\,d+d^{2} com d\approx -0,000222339 obtemos \approx 7,99874231):
f(x_{4},y_{4})\approx 0,64+7,99874231=8,63874231.
Aplicando Euler para obter o ponto final x_{5}=1,0:
y_{5}=y_{4}+h\,f(x_{4},y_{4})\approx 2,828204786+0,2\cdot 8,63874231
y_{5}\approx 2,828204786+1,727748462=4,555953248.

Passo 8

Resumo dos valores aproximados em cada nó da malha (repetindo os resultados calculados, para ficar bem claro o que você levaria para a prova):
\begin{aligned} x_{0}&=0,\quad &y_{0}&=1,\\\ x_{1}&=0,2,\quad &y_{1}&=1,2,\\\ x_{2}&=0,4,\quad &y_{2}&=1,496,\\\ x_{3}&=0,6,\quad &y_{3}&\approx 1,9756032,\\\ x_{4}&=0,8,\quad &y_{4}&\approx 2,828204786,\\\ x_{5}&=1,0,\quad &y_{5}&\approx 4,555953248. \end{aligned}
Observação rápida (didática): o método de Euler é simples e rápido, mas tem precisão limitada (erro global da ordem de O(h)). Se quiser melhor precisão na prova sem muito esforço extra, vale aprender o método de Euler melhorado (Heun) ou Runge–Kutta de ordem 4, que reduzem bastante o erro com passos parecidos.

Resposta

y(0)=1
y(0,2)=1,2
y(0,4)=1,496
y(0,6)\approx 1,9756032
y(0,8)\approx 2,828204786
y(1,0)\approx 4,555953248

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