1 Calcule uma solução numérica aproximada para o PVI
y^{\prime}=2 y, \quad y(0)=1,
no intervalo [0,1], considerando passos h=0.2.

Passo 1

O enunciado pede uma solução numérica aproximada do problema de valor inicial (PVI)
y' = 2y,\qquad y(0)=1,
no intervalo [0,1] usando passo h=0,2. As informações relevantes que temos são:
\text{equação: } y' = 2y,\quad \text{condição inicial: } y(0)=1,\quad \text{intervalo: } [0,1],\quad h=0,2.çãçã
Com h=0,2 o número de passos é
N=\frac{1-0}{0,2}=5,
logo vamos calcular aproximações nos pontos t_0=0, t_1=0,2, t_2=0,4, t_3=0,6, t_4=0,8 e t_5=1,0.

Passo 2

Escolha do método: como o enunciado não exige um método específico e estamos numa revisão rápida para prova, uso o método de Euler explícito (também chamado de Euler direto) porque é o mais básico, fácil de aplicar à mão e normalmente é o primeiro método que se pede em questões do tipo. Se você quiser depois, podemos fazer Heun ou Runge–Kutta para comparar, mas aqui vou fazer Euler passo a passo.

Passo 3

O que é o método de Euler explícito e por que funciona:
  • Partimos da ideia de aproximar a solução por valores y_n que representam y(t_n) aproximadamente, com t_n=t_0+n h.
  • A fórmula do método de Euler vem da aproximação da derivada por diferença finita para frente:
y'(t_n)\approx\frac{y(t_{n+1})-y(t_n)}{h}.
  • Substituindo y'(t_n)=f(t_n,y(t_n)) obtemos a recorrência do método:
y_{n+1}=y_n + h\,f(t_n,y_n).
Aqui:
  • y_n é a aproximação de y(t_n);
  • h é o passo;
  • f(t,y) é a função do lado direito da EDO (no nosso caso f(t,y)=2y).
  • Ordem/erro: Euler tem erro local da ordem O(h^2) e erro global da ordem O(h). Ou seja, ao dobrar h o erro global tende a dobrar — é um método simples, mas com erro relativamente grande para passos grandes.

Passo 4

Aplicando Euler ao nosso problema: aqui f(t,y)=2y. Então a fórmula fica
y_{n+1}=y_n + h\cdot 2y_n = (1+2h)\,y_n.
Substituindo h=0,2 obtemos o fator multiplicativo
1+2h = 1 + 2\cdot 0,2 = 1 + 0,4 = 1,4.
Portanto a recorrência é simplesmente
y_{n+1}=1,4\,y_n.
Começamos com y_0=1 em t_0=0. Vou calcular passo a passo as cinco iterações até t_5=1,0.

Passo 5

Cálculo de y_1 em t_1=0,2:
y_1 = 1,4\,y_0 = 1,4\cdot 1 = 1,4.
(Explicando mentalmente: 1\cdot 1,4 = 1,4.)

Passo 6

Cálculo de y_2 em t_2=0,4:
y_2 = 1,4\,y_1 = 1,4\cdot 1,4 = 1,96.
(Produto: 1,4\cdot 1,4 = 1,4 + 0,56 = 1,96.)

Passo 7

Cálculo de y_3 em t_3=0,6:
y_3 = 1,4\,y_2 = 1,4\cdot 1,96.
Faço a conta em partes: 1,96\cdot 1 = 1,96 e 1,96\cdot 0,4 = 0,784. Somando:
y_3 = 1,96 + 0,784 = 2,744.

Passo 8

Cálculo de y_4 em t_4=0,8:
y_4 = 1,4\,y_3 = 1,4\cdot 2,744.
Conta: 2,744\cdot 1 = 2,744 e 2,744\cdot 0,4 = 1,0976. Somando:
y_4 = 2,744 + 1,0976 = 3,8416.

Passo 9

Cálculo de y_5 em t_5=1,0:
y_5 = 1,4\,y_4 = 1,4\cdot 3,8416.
Conta: 3,8416\cdot 1 = 3,8416 e 3,8416\cdot 0,4 = 1,53664. Somando:
y_5 = 3,8416 + 1,53664 = 5,37824.

Passo 10

Resumo das aproximações nos nós t_n:
\begin{aligned} t_0&=0,0,\quad &y_0&=1,00000,\\\ t_1&=0,2,\quad &y_1&=1,40000,\\\ t_2&=0,4,\quad &y_2&=1,96000,\\\ t_3&=0,6,\quad &y_3&=2,74400,\\\ t_4&=0,8,\quad &y_4&=3,84160,\\\ t_5&=1,0,\quad &y_5&=5,37824. \end{aligned}

Passo 11

Comentário didático-final e comparação rápida com a solução exata (para sua intuição): a solução exata do PVI é
y(t)=e^{2t},
portanto y(1)=e^2\approx 7,38906. O método de Euler com h=0,2 deu y_5\approx 5,37824, que subestima o valor exato (erro aproximado em t=1 de 7,38906-5,37824\approx 2,01082). Isso mostra que, para EDOs com crescimento exponencial, o Euler explícito com passos relativamente grandes pode ter erro grande; usar passos menores ou métodos de maior ordem (Heun, RK4) melhora bastante a aproximação.

Resposta

y(0{,}0)=1{,}00000
y(0{,}2)=1{,}40000
y(0{,}4)=1{,}96000
y(0{,}6)=2{,}74400
y(0{,}8)=3{,}84160
y(1{,}0)=5{,}37824

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