1 Calcule uma solução numérica aproximada para o PVI
no intervalo
, considerando passos
.
Passo 1
O enunciado pede uma solução numérica aproximada do problema de valor inicial (PVI)
no intervalo
usando passo
. As informações relevantes que temos são:
Com
o número de passos é
logo vamos calcular aproximações nos pontos
,
,
,
,
e
.
Passo 2
Escolha do método: como o enunciado não exige um método específico e estamos numa revisão rápida para prova, uso o método de Euler explícito (também chamado de Euler direto) porque é o mais básico, fácil de aplicar à mão e normalmente é o primeiro método que se pede em questões do tipo. Se você quiser depois, podemos fazer Heun ou Runge–Kutta para comparar, mas aqui vou fazer Euler passo a passo.
Passo 3
O que é o método de Euler explícito e por que funciona:
- Partimos da ideia de aproximar a solução por valores
que representam aproximadamente, com . - A fórmula do método de Euler vem da aproximação da derivada por diferença finita para frente:
- Substituindo
obtemos a recorrência do método:
Aqui:
-
é a aproximação de ; -
é o passo; -
é a função do lado direito da EDO (no nosso caso ). - Ordem/erro: Euler tem erro local da ordem
e erro global da ordem . Ou seja, ao dobrar o erro global tende a dobrar — é um método simples, mas com erro relativamente grande para passos grandes.
Passo 4
Aplicando Euler ao nosso problema: aqui
. Então a fórmula fica
Substituindo
obtemos o fator multiplicativo
Portanto a recorrência é simplesmente
Começamos com
em
. Vou calcular passo a passo as cinco iterações até
.
Passo 5
Cálculo de
em
:
(Explicando mentalmente:
.)
Passo 6
Cálculo de
em
:
(Produto:
.)
Passo 7
Cálculo de
em
:
Faço a conta em partes:
e
. Somando:
Passo 8
Cálculo de
em
:
Conta:
e
. Somando:
Passo 9
Cálculo de
em
:
Conta:
e
. Somando:
Passo 10
Resumo das aproximações nos nós
:
Passo 11
Comentário didático-final e comparação rápida com a solução exata (para sua intuição): a solução exata do PVI é
portanto
. O método de Euler com
deu
, que subestima o valor exato (erro aproximado em
de
). Isso mostra que, para EDOs com crescimento exponencial, o Euler explícito com passos relativamente grandes pode ter erro grande; usar passos menores ou métodos de maior ordem (Heun, RK4) melhora bastante a aproximação.