Calcule as aproximações de diferenças finitas usando os pontos abaixo. Compare com os resultados fornecidos pelos códigos MATLAB/OCTAVE fdcoeffV e fdcoeffF disponíveis no site do livro do Leveque (http://staff.washington.edu/rjl/fdmbook/). Dê a ordem de precisão de cada aproximação.
usando
;
Passo 1
Então, o que a gente quer aqui é aproximar a derivada
usando os valores de
nos três pontos
,
e
.
O assunto é diferença finita e vamos usar a ideia de expansão de Taylor (ou interpolação de Lagrange) para encontrar coeficientes que combinem esses três valores de forma a dar uma boa aproximação da derivada.
O assunto é diferença finita e vamos usar a ideia de expansão de Taylor (ou interpolação de Lagrange) para encontrar coeficientes que combinem esses três valores de forma a dar uma boa aproximação da derivada.
Passo 2
Vamos chamar o ponto em que queremos a derivada de
Então escrevemos Taylor de
e
em torno de
:
- em
:
- em
:
Passo 3
Subtraindo a segunda da primeira, a parte em
e o termo em
se cancelam até
, sobrando
Logo, isolando
:
Repare que o valor em
entra com coeficiente zero – ou seja, a fórmula depende só de
e
.
Passo 4
Isso mostra duas coisas importantes:
- A aproximação é
- O termo de erro é
, ou seja, a ordem de precisão é 2.
Resposta
A fórmula de diferença finita para
usando
fica
e ela é de segunda ordem de precisão (
).
Os códigos do Leveque (fdcoeffV, fdcoeffF) vão dar exatamente esses coeficientes e confirmar a ordem 2.
Os códigos do Leveque (fdcoeffV, fdcoeffF) vão dar exatamente esses coeficientes e confirmar a ordem 2.