Use o método de coeficientes indeterminados para calcular a1, a2, a3 tal que
D2 u(barx)=a1 u(barx)+a2 u(barx-h)+a3 u(barx-2 h)
seja uma aproximação de segunda ordem para u^prime(barx). Determine o polinômio quadrático p(x) que interpola u em barx, barx-h e barx-2 h. Verifique que p^prime(barx) é equivalente a D2 u(barx).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede duas coisas:
  1. Usar o método dos coeficientes indeterminados para achar D2u(bar x)=a1u(bar x)+a2u(bar x-h)+a3u(bar x-2h) de modo que
seja uma aproximação de segunda ordem para .
2) Construir o polinômio quadrático que interpola nos pontos e verificar que .
Conteúdo: diferenças finitas e interpolação de Lagrange. Vamos precisar montar o polinômio interpolador em Lagrange, derivá-lo e comparar com a fórmula de diferenças.

Passo 2

Vamos criar x0=bar x, x1=bar x-h, x2=bar x-2h por Lagrange nos nós
L0(x)=(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2) =(x-bar x+h)(x-bar x+2h)2h^2,
Os polinômios base são
L1(x)=(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2) =-(x-bar x)(x-bar x+2h)h^2,
L2(x)=(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1) =(x-bar x)(x-bar x+h)2h^2
p(x)=u(bar x),L0(x)+u(bar x-h),L1(x)+u(bar x-2h),L2(x)
Logo

Passo 3

Agora derivamos p(bar x+t)=u0(t+h)(t+2h)2h^2 -u1t(t+2h)h^2 +u2t(t+h)2h^2, . Como cada p'(bar x) =ddtp(bar x+t)|t=0 =u02t+3h2h^2|t=0 -u12t+2hh^2|t=0 +u22t+h2h^2|t=0 é quadrático, use regra do produto e avalie em p'(bar x) =3h2h^2u0-2hh^2u1+h2h^2u2 =3u0-4u1+u22h . É mais fácil mudar de variável , daí
onde , , .
Derivando em relação a e avaliando em :
Isso dá

Passo 4

Comparando com
D2u(bar x) =a1u0+a2u1+a3u2,
e exigindo 3u0-4u1+u22h =a1u0+a2u1+a3u2 , a gente vê que
a1=32h, a2=-42h=-2h, a3=12h
Logo os coeficientes são

Resposta

p(x) =u(bar x)(x-bar x+h)(x-bar x+2h)2h^2 -u(bar x-h)(x-bar x)(x-bar x+2h)h^2 +u(bar x-2h)(x-bar x)(x-bar x+h)2h^2,
O polinômio interpolador é
e de fato .

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