Use o método de coeficientes indeterminados para calcular tal que
seja uma aproximação de segunda ordem para . Determine o polinômio quadrático que interpola em e . Verifique que é equivalente a .
Passo 1
Beleza, o enunciado pede duas coisas:
Usar o método dos coeficientes indeterminados para achar de modo que
seja uma aproximação de segunda ordem para .
2) Construir o polinômio quadrático que interpola nos pontos e verificar que .
Conteúdo: diferenças finitas e interpolação de Lagrange. Vamos precisar montar o polinômio interpolador em Lagrange, derivá-lo e comparar com a fórmula de diferenças.
Passo 2
Vamos criar por Lagrange nos nós
Os polinômios base são
Logo
Passo 3
Agora derivamos . Como cada é quadrático, use regra do produto e avalie em . É mais fácil mudar de variável , daí
onde , , .
Derivando em relação a e avaliando em :
Isso dá
Passo 4
Comparando com
D2u(bar x) =a1u0+a2u1+a3u2,
e exigindo 3u0-4u1+u22h =a1u0+a2u1+a3u2 , a gente vê que
a1=32h, a2=-42h=-2h, a3=12h
Logo os coeficientes são
Resposta
p(x) =u(bar x)(x-bar x+h)(x-bar x+2h)2h^2 -u(bar x-h)(x-bar x)(x-bar x+2h)h^2 +u(bar x-2h)(x-bar x)(x-bar x+h)2h^2,
O polinômio interpolador é