Use o método de coeficientes indeterminados para configurar o sistema 5 times 5 de Vandermonde que determinaria uma aproximação de diferença finita com precisão de quarta ordem para u^prime prime(x) com base em 5 pontos igualmente espaçados,
u^prime prime(x)=a1 u(x-2 h)+a2 u(x-h)+a3 u(x)+a4 u(x+h)+a5 u(x+2 h)+O(h^4)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra montar um esquema de diferenças finitas de ordem 4 pra segunda derivada
u''(x)approx a1u(x-2h)+a2u(x-h)+a3u(x)+a4u(x+h)+a5u(x+2h)+O(h^4),
O conteúdo aqui é usar método de coeficientes indeterminados e expansão de Taylor, montando um sistema tipo Vandermonde 5×5 pra achar os ai. Vamos precisar
1) expandir cada u(x+k h) em série de Taylor até a ordem 4;
2) coletar os termos em u, u', u'', u^(3), u^(4);
3) impor que só reste u''(x) na combinação (até O(h^4));
4) escrever isso como um sistema linear em a1,dots,a5.

Passo 2

Primeiro, a expansão de Taylor em torno de x para um deslocamento k,h (com k=-2,-1,0,1,2) é
u(x+k,h)=u(x)+u'(x),(k,h)+u''(x)2!(k,h)^2+u^(3)(x)3!(k,h)^3+u^(4)(x)4!(k,h)^4+O(h^5)
A ideia é multiplicar cada expansão pelo coeficiente ai correspondente e somar tudo.

Passo 3

Vamos somar as cinco expansões:
sumi=1^5 ai,u(x+ki h) =l(sum air)u +l(sum ai kir)h,u' +l(sum ai ki^2r)h^22u'' +l(sum ai ki^3r)h^36u^(3) +l(sum ai ki^4r)h^424u^(4) +O(h^5)
A gente quer que essa soma seja exatamente u''(x)+O(h^4). Isso implica:
  1. coeficiente de u zero: sum ai=0;
  2. de u' zero: sum ai ki=0;
  3. de u'' igual a 1: sum ai ki^2,(h^2/2)=1;Longrightarrow;sum ai ki^2=2/h^2;
  4. de u^(3) zero: sum ai ki^3=0;
  5. de u^(4) zero: sum ai ki^4=0.
Aqui kiin-2,-1,0,1,2.

Passo 4

Escrevendo cada uma dessas equações como linha de um sistema, com incógnitas a1,dots,a5 (associados a k=-2,-1,0,1,2), a matriz fica tipo Vandermonde:
para k1=-2,,k2=-1,,k3=0,,k4=1,,k5=2,
as linhas são as potências ki^p (p=0…4) e o vetor do lado direito é (0,0,2/h^2,0,0)^T.

Passo 5

Montando tudo em forma matricial:
$$
1 & 1 & 1 & 1 & 1 -2&-1& 0& 1& 2 4 & 1 & 0 & 1 & 4 -8&-1& 0& 1& 8 16& 1 & 0 & 1 &16 a1a2a3a4a5 = 0 0 2/h^2 0 0

.
$$
Isso é exatamente o sistema Vandermonde 5×5 que você precisava configurar.

Resposta

O sistema de Vandermonde para determinar os coeficientes ai é
$$
1 & 1 & 1 & 1 & 1 -2&-1& 0& 1& 2 4 & 1 & 0 & 1 & 4 -8&-1& 0& 1& 8 16& 1 & 0 & 1 &16 a1a2a3a4a5 = 0 0 2/h^2 0 0

.
$$

Exercícios relacionados