Use o método de coeficientes indeterminados para configurar o sistema de Vandermonde que determinaria uma aproximação de diferença finita com precisão de quarta ordem para com base em 5 pontos igualmente espaçados,
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra montar um esquema de diferenças finitas de ordem 4 pra segunda derivada
O conteúdo aqui é usar método de coeficientes indeterminados e expansão de Taylor, montando um sistema tipo Vandermonde 5×5 pra achar os . Vamos precisar
1) expandir cada em série de Taylor até a ordem 4;
2) coletar os termos em , , , , ;
3) impor que só reste na combinação (até );
4) escrever isso como um sistema linear em .
Passo 2
Primeiro, a expansão de Taylor em torno de para um deslocamento (com ) é
A ideia é multiplicar cada expansão pelo coeficiente correspondente e somar tudo.
Passo 3
Vamos somar as cinco expansões:
A gente quer que essa soma seja exatamente . Isso implica:
coeficiente de zero: ;
de zero: ;
de igual a 1: ;
de zero: ;
de zero: .
Aqui .
Passo 4
Escrevendo cada uma dessas equações como linha de um sistema, com incógnitas (associados a ), a matriz fica tipo Vandermonde:
para ,
as linhas são as potências (p=0…4) e o vetor do lado direito é .
Passo 5
Montando tudo em forma matricial:
$$
.
$$
Isso é exatamente o sistema Vandermonde 5×5 que você precisava configurar.
Resposta
O sistema de Vandermonde para determinar os coeficientes ai é
$$ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 -2&-1& 0& 1& 2 4 & 1 & 0 & 1 & 4 -8&-1& 0& 1& 8 16& 1 & 0 & 1 &16 a1a2a3a4a5 = 0 0 2/h^2 0 0