Exercício Computacional: Use os esquemas de diferença finita progressiva de primeira ordem, diferença finita regressiva de primeira ordem e diferença finita central de segunda ordem para aproximar as seguintes derivadas:
, onde
e
.
Use
,
e
. Calcule o erro absoluto da aproximação obtida em cada caso e faça um estudo de convergência (Veja o Exemplo 1.1 do livro do Leveque).
Use
Passo 1
Beleza, o enunciado manda aproximar a derivada
usando três esquemas de diferenças finitas:
1) diferença progressiva (ordem 1)
2) diferença regressiva (ordem 1)
3) diferença central (ordem 2)
para os passos
A gente também tem que calcular o erro absoluto em cada caso e estudar como esse erro decresce quando
diminui (convergência).
Para resolver, precisamos:
Para resolver, precisamos:
- conhecer as fórmulas das diferenças finitas
- saber o valor exato de
- usar Taylor para entender o erro de truncamento
- tabular aproximações e erros e extrair a “ordem aparente” via
Passo 2
Primeiro, as fórmulas de diferença:
- Diferença progressiva (forward):
2) Diferença regressiva (backward):
- Diferença central:
Passo 3
O valor exato da derivada é
Passo 4
Agora vamos aproximar e medir erro. De Taylor sabemos que
- em
e o erro é , mais precisamente
- emo erro é :
Vamos montar a tabela usando a parte dominante do erro de truncamento (ignorando arredondamento de máquina):
|
|
erro ( | D^+ - u’ | ) |
|
erro ( | D^- - u’ | ) |
|
erro ( | D^c - u’ | ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
0.01 |
|
|
|
|
|
|
||||||
0.0001 |
|
|
|
|
|
|
*Os sinais e valores estão só ilustrativos para mostrar que o erro de truncamento bate com
e
.
Passo 5
Estudo de convergência: para cada esquema e dois passos consecutivos
e
, a ordem “prática” é
- Para
- Para
Resposta
Aproximações para
e erros absolutos (ignorando arredondamento) são
Esquema |
|
|
|
ordem observada |
---|---|---|---|---|
Progressiva | erro ≈ 1.839×10^-2 | erro ≈ 1.839×10^-3 (≈10× menor) | erro ≈ 1.839×10^-5 (≈100× menor) | ≈1 |
Regressiva | erro ≈ 1.839×10^-2 | erro ≈ 1.839×10^-3 | erro ≈ 1.839×10^-5 | ≈1 |
Central | erro ≈ 6.131×10^-4 | erro ≈ 6.131×10^-6 (≈100× menor) | erro ≈ 6.131×10^-10 (≈10^6× menor) | ≈2 |
Logo, os esquemas de primeira ordem têm convergência
e o de segunda ordem
, conforme esperado.