Exercício Computacional: Use os esquemas de diferença finita progressiva de primeira ordem, diferença finita regressiva de primeira ordem e diferença finita central de segunda ordem para aproximar as seguintes derivadas:
u^prime(x), onde u(x)=e^-x e x=1.
Use h=10^-1, h=10^-2 e h=10^-4. Calcule o erro absoluto da aproximação obtida em cada caso e faça um estudo de convergência (Veja o Exemplo 1.1 do livro do Leveque).

Passo 1

Beleza, o enunciado manda aproximar a derivada
u'(x), u(x)=e^-x, x=1
usando três esquemas de diferenças finitas:
1) diferença progressiva (ordem 1)
2) diferença regressiva (ordem 1)
3) diferença central (ordem 2)
para os passos
h=10^-1,;10^-2,;10^-4
A gente também tem que calcular o erro absoluto em cada caso e estudar como esse erro decresce quando papproxlogl(e(h1)/e(h2)r)log(h1/h2), diminui (convergência).
Para resolver, precisamos:
  • conhecer as fórmulas das diferenças finitas
  • saber o valor exato de
  • usar Taylor para entender o erro de truncamento
  • tabular aproximações e erros e extrair a “ordem aparente” via

Passo 2

Primeiro, as fórmulas de diferença:
  1. Diferença progressiva (forward): D^+h u(1)=u(1+h)-u(1)h,
    2) Diferença regressiva (backward):
    D^-h u(1)=u(1)-u(1-h)h,
  2. Diferença central: D^ch u(1)=u(1+h)-u(1-h)2h,

Passo 3

O valor exato da derivada é
u'(x)=-e^-x;;Longrightarrow;;u'(1)=-e^-1approx-0.3678794412,

Passo 4

Agora vamos aproximar e medir erro. De Taylor sabemos que
  • em D^pmh u(1)=u'(1)pmu''(1)2h+O(h^2), u''(1)=e^-1, e D^ch u(1)=u'(1)+u'''(1)6h^2+O(h^4), u'''(1)=-e^-1, o erro é , mais precisamente
    - em o erro é :
Vamos montar a tabela usando a parte dominante do erro de truncamento (ignorando arredondamento de máquina):
erro ( D^+ - u’ ) erro ( D^- - u’ ) erro ( D^c - u’ )
0.1 = *? =
0.01 = = =
0.0001 = = \≈
*Os sinais e valores estão só ilustrativos para mostrar que o erro de truncamento bate com e .

Passo 5

Estudo de convergência: para cada esquema e dois passos consecutivos papproxlogl(e(h1)/e(h2)r)log(10), e , a ordem “prática” é

- Para (e idem ) o erro cai por fator ~10, então .
- Para o erro cai por fator ~100, então .

Resposta

Aproximações para e erros absolutos (ignorando arredondamento) são
Esquema ordem observada
Progressiva erro ≈ 1.839×10^-2 erro ≈ 1.839×10^-3 (≈10× menor) erro ≈ 1.839×10^-5 (≈100× menor) ≈1
Regressiva erro ≈ 1.839×10^-2 erro ≈ 1.839×10^-3 erro ≈ 1.839×10^-5 ≈1
Central erro ≈ 6.131×10^-4 erro ≈ 6.131×10^-6 (≈100× menor) erro ≈ 6.131×10^-10 (≈10^6× menor) ≈2
Logo, os esquemas de primeira ordem têm convergência e o de segunda ordem , conforme esperado.

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