Calcule a área da região limitada à direita pelo círculo
e à esquerda pela reta
. Resp.
Passo 1
Então, o que o enunciado pede? A gente quer a área da “tira” dentro do círculo de raio 5 (definido por
) e à esquerda da reta
.
Conteúdo: cálculo de área por integrais definidas e área entre curvas.
O que vamos precisar:
Conteúdo: cálculo de área por integrais definidas e área entre curvas.
O que vamos precisar:
- Saber que a área entre duas curvas em termos de
é . - Conhecer a antiderivada de
e saber o valor de um integral simples de constante. - A identidade
para ajeitar o resultado final.
Passo 2
Primeiro, achamos onde a reta
cruza o círculo:
Isso diz que a “tira” vai de
Em cada
e a borda esquerda é a reta
.
Logo,
Logo,
Passo 3
Separando o integral em dois pedaços:
O segundo é fácil:
Passo 4
Agora o integral
.
Uma antiderivada conhecida é
Uma antiderivada conhecida é
$$\int\sqrt{R2-y2},dy
=\frac y2,\sqrt{R2-y2}+\frac{R^2}{2}\arcsin!\Bigl(\frac yR\Bigr)+C.$$
Aqui .
Aqui
Passo 5
Avaliaremos de
a
:
- Termo
:
- Termo
:
Somando os dois dá
$$\int_{-4}{4}\sqrt{25-y2},dy
=12+25\arcsin!\bigl(\tfrac45\bigr).$$
Passo 6
Voltando ao
:
$$A=\bigl[12+25\arcsin(\tfrac45)\bigr]-24
=25\arcsin!\bigl(\tfrac45\bigr)-12.
\arcsin!\bigl(\tfrac45\bigr)=\frac\pi2-\arcsin!\bigl(\tfrac35\bigr).$$
Então