Calcule a área da região limitada à direita pelo círculo x^2+y^2=25 e à esquerda pela reta x=3. Resp. 252 pi-12-25 arcsin 35

Passo 1

Então, o que o enunciado pede? A gente quer a área da “tira” dentro do círculo de raio 5 (definido por x^2+y^2=25) e à esquerda da reta x=3.
Conteúdo: cálculo de área por integrais definidas e área entre curvas.
O que vamos precisar:
  1. Saber que a área entre duas curvas em termos de y é A=integraly1^y2l(xrm direita(y)-xrm esquerda(y)r),dy.
  2. Conhecer a antiderivada de raizR^2-y^2 e saber o valor de um integral simples de constante.
  3. A identidade arcsin(u)+arccos(u)=tfracpi2 para ajeitar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, achamos onde a reta x=3 cruza o círculo:
3^2+y^2=25;Longrightarrow;y^2=16;Longrightarrow;y=pm4
Isso diz que a “tira” vai de y=-4 até y=4.
Em cada y, a abscissa da borda direita (círculo) é
xrm direita(y)=raiz25-y^2,
e a borda esquerda é a reta xrm esquerda=3.
Logo,
A=integraly=-4^4l(raiz25-y^2-3r),dy

Passo 3

Separando o integral em dois pedaços:
A=integral-4^4raiz25-y^2,dy;-;3integral-4^41,dy
O segundo é fácil: integral-4^41,dy=4-(-4)=8, então
-3integral-4^41,dy=-3cdot8=-24

Passo 4

Agora o integral integralraiz25-y^2,dy.
Uma antiderivada conhecida é
$$\int\sqrt{R2-y2},dy
=\frac y2,\sqrt{R2-y2}+\frac{R^2}{2}\arcsin!\Bigl(\frac yR\Bigr)+C.$$
Aqui integralraizR^2-y^2,dy = y2,raizR^2-y^2+R^22arcsin!l( yRr)+C.

Passo 5

Avaliaremos de y=-4 a y=4:
  1. Termo , y2raiz25-y^2,:
l[ y2raiz25-y^2r]-4^4 =42raiz25-16--42raiz25-16 =2cdot3-(-2cdot3)=6+6=12
  1. Termo ,252arcsin(y/5),:
252l[arcsin!l(tfrac y5r)r]-4^4 =252l(arcsin(tfrac45)-arcsin(-tfrac45)r) =252l(2,arcsin(tfrac45)r) =25arcsin!l(tfrac45r)
Somando os dois dá
$$\int_{-4}{4}\sqrt{25-y2},dy
=12+25\arcsin!\bigl(\tfrac45\bigr).$$

Passo 6

Voltando ao A:
$$A=\bigl[12+25\arcsin(\tfrac45)\bigr]-24
=25\arcsin!\bigl(\tfrac45\bigr)-12. A=l[12+25arcsin(tfrac45)r]-24 =25arcsin!l(tfrac45r)-12à\arcsin!\bigl(\tfrac45\bigr)=\frac\pi2-\arcsin!\bigl(\tfrac35\bigr).$$
Então
arcsin!l(tfrac45r)=pi2-arcsin!l(tfrac35r)

Resposta

.

Exercícios relacionados