Dada a y=f(x), conhecida pelos pontos da tabela abaixo, calcular uma aproximação para f(3,7), empregando a fórmula de Newton com diferenças divididas.
x 1 2 3 4
f(x) 0 0,6931 1,0986 1,3863
Obs.: f(x)=ln x

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem a função c|cccc x & 1 & 2 & 3 & 4 hline f(x) & 0 & 0,6931 & 1,0986 & 1,3863 conhecida nos pontos
e quer aproximar usando o polinômio de Newton com diferenças divididas.
Conteúdo: interpolação polinomial (Newton) e diferenças divididas.
O que vamos precisar:
  1. Construir a tabela de diferenças divididas até a ordem 3.
  2. Montar o polinômio de Newton de grau 3.
  3. Avaliar esse polinômio em .

Passo 2

Primeira coisa é entender a definição de primeira diferença dividida:
f[xi,xi+1] = f(xi+1) - f(xi)xi+1-xi
Vamos calcular:
  • ,
  • ,
  • .

Passo 3

Agora a segunda diferença dividida, que pega duas primeiras diferenças:
f[xi,xi+1,xi+2] = f[xi+1,xi+2] - f[xi,xi+1]xi+2-xi
Logo:

Passo 4

Por fim, a terceira diferença dividida:
f[x0,x1,x2,x3] = f[x1,x2,x3] - f[x0,x1,x2]x3 - x0 = -0,0589 - (-0,1438)4-1 = 0,08493 = 0,0283

Passo 5

Com todas as diferenças, montamos o polinômio de Newton de grau 3:
P3(x) = f[x0] + f[x0,x1],(x-x0) + f[x0,x1,x2],(x-x0)(x-x1) + f[x0,x1,x2,x3],(x-x0)(x-x1)(x-x2)
Substituindo P3(x) = 0 + 0,6931,(x-1) - 0,1438,(x-1)(x-2) + 0,0283,(x-1)(x-2)(x-3) , , e os valores calculados:

Passo 6

Vamos avaliar em P3(3,7) = 0 + 1,87137 - 0,66064 + 0,09093 approx 1,30166 :
  1. .
  2. .
  3. .
    Somando tudo:

Resposta

Aproximação pelo polinômio de Newton dá

Exercícios relacionados