Calcule a área da região limitada pela parábola
e a reta
. Resp. 9
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra calcular a área da região limitada pela parábola
e pela reta
Isso é um problema típico de “área entre curvas” em cálculo. A gente vai precisar:
- Encontrar onde as duas curvas se cruzam (pontos de interseção).
- Isolar x como função de y (porque a parábola é mais fácil de tratar como
). - Montar a integral da diferença das abscissas (reta menos parábola) em relação a y.
- Calcular a integral e avaliar nos limites que achamos.
Passo 2
Primeiro, bora achar os pontos de interseção. A parábola dá
e da reta a gente isola x:
No ponto de encontro, essas duas expressões de x são iguais:
Multiplicando tudo por 4 para não ter fração:
Essa equação é quadrática em y. Aplicando a fórmula:
Então
Passo 3
Agora sabemos que a região está entre
e
. Relembrando as abscissas:
- Parábola:
- Reta:
Num pedaço horizontal (pra um dado y), a “largura” da região é
Passo 4
A área é a integral dessa largura de y = −2 até y = 4:
Passo 5
Vamos achar a antiderivada termo a termo:
- Para
, é . - Para
, é . - Para
, é .
Ou seja, a primitiva é
Passo 6
Avalia nos limites y = −2 e y = 4:
Em
:
Em
:
Então a área é
Resposta
A área da região é 9.