Calcule a área da região limitada pela parábola y^2=4 x e a reta y=2 x-4. Resp. 9

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular a área da região limitada pela parábola
y^2 = 4x
e pela reta
y = 2x - 4,
Isso é um problema típico de “área entre curvas” em cálculo. A gente vai precisar:
  1. Encontrar onde as duas curvas se cruzam (pontos de interseção).
  2. Isolar x como função de y (porque a parábola é mais fácil de tratar como x = f(y)).
  3. Montar a integral da diferença das abscissas (reta menos parábola) em relação a y.
  4. Calcular a integral e avaliar nos limites que achamos.

Passo 2

Primeiro, bora achar os pontos de interseção. A parábola dá
x = y^24,
e da reta a gente isola x:
y = 2x - 4 Longrightarrow x = y + 42
No ponto de encontro, essas duas expressões de x são iguais:
y^24 = y + 42
Multiplicando tudo por 4 para não ter fração:
y^2 = 2(y + 4) = 2y + 8 Longrightarrow y^2 - 2y - 8 = 0
Essa equação é quadrática em y. Aplicando a fórmula:
y = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot(-8)2 = 2 pm raiz4 + 322 = 2 pm 62
Então
y = 4 ou y = -2

Passo 3

Agora sabemos que a região está entre y=-2 e y=4. Relembrando as abscissas:
  • Parábola: xP(y) = dfracy^24
  • Reta: xR(y) = dfracy + 42
Num pedaço horizontal (pra um dado y), a “largura” da região é
De

Passo 4

A área é a integral dessa largura de y = −2 até y = 4:
A = integraly=-2^4 l(y + 42 - y^24r),dy = integral-2^4 l(-tfrac14,y^2 + tfrac12,y + 2r),dy

Passo 5

Vamos achar a antiderivada termo a termo:
  • Para -tfrac14,y^2, é -tfrac14cdoty^33 = -tfrac112,y^3.
  • Para tfrac12,y, é tfrac12cdoty^22 = tfrac14,y^2.
  • Para 2, é 2y.
    Ou seja, a primitiva é
F(y) = -112y^3 + 14y^2 + 2y

Passo 6

Avalia nos limites y = −2 e y = 4:
Em y = 4:
F(4) = -tfrac112,4^3 + tfrac14,4^2 + 2cdot4 = -tfrac6412 + tfrac164 + 8 = -tfrac163 + 4 + 8 = -tfrac163 + 12 = tfrac-16 + 363 = tfrac203
Em y = -2:
F(-2) = -tfrac112(-2)^3 + tfrac14(-2)^2 + 2cdot(-2) = -tfrac-812 + tfrac44 - 4 = tfrac812 + 1 - 4 = tfrac23 + 1 - 4 = tfrac2 + 3 - 123 = -tfrac73
Então a área é
A = F(4) - F(-2) = tfrac203 - l(-tfrac73r) = tfrac20 + 73 = tfrac273 = 9

Resposta

A área da região é 9.

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