Determine o vetor solução do sistema abaixo, utilizando o método iterativo de Gauss-Jacobi e estude o sistema quanto a convergência usando o critério das linhas.
x^(0)=[0,0,0]^T, varepsilon<10^-3
c 10 x1+x2-x3=10 x1+10 x2+x3=12 2 x1-x2+10 x3=11

Passo 1

Beleza, temos o sistema
10x1 + x2 - x3 = 10, x1 +10x2 + x3 = 12, 2x1 - x2 +10x3 = 11,
o método que vamos usar é o de Gauss–Jacobi. A ideia é isolar cada na sua própria equação e montar uma iteração . A tolerância é e o chute inicial é .

Passo 2

Primeiro, vemos se o método converge pelo critério das linhas (diagonal dominante por linhas). Para cada linha |aii| > sumjneq i|aij| , checamos
  1. Linha 1:
  2. Linha 2:
  3. Linha 3:
    Como todas satisfazem, o método de Jacobi vai convergir.

Passo 3

Isolando cada variável, temos as fórmulas iterativas:
x1^(k+1) &= 10 - x2^(k) + x3^(k)10, x2^(k+1) &= 12 - x1^(k) - x3^(k)10, x3^(k+1) &= 11 - 2,x1^(k) + x2^(k)10

Passo 4

Agora é só iterar até a diferença máxima entre iterações ficar abaixo de x^(1) = (1,;1.2,;1.1) . Vamos numerar x^(2) = l(0.99,;0.99,;1.02r) .
Começando em x^(3) = l(1.003,;0.999,;1.001r) :
k=1:
x^(4) = l(1.0002,;0.9996,;0.9993r), |De
k=2:
k=3:
k=4:
(ainda acima de ).

Passo 5

k=5:
x^(5) = l(0.99997,;1.00005,;0.99992r), |De
Parou aqui!

Resposta

O vetor solução aproximado, com boxedx approx (0.99997,;1.00005,;0.99992)^T , é

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