Determine o vetor solução do sistema abaixo, utilizando o método iterativo de Gauss-Jacobi e estude o sistema quanto a convergência usando o critério das linhas.
Passo 1
Beleza, temos o sistema
o método que vamos usar é o de Gauss–Jacobi. A ideia é isolar cada
na sua própria equação e montar uma iteração
. A tolerância é
e o chute inicial é
.
Passo 2
Primeiro, vemos se o método converge pelo critério das linhas (diagonal dominante por linhas). Para cada linha
|aii| > sumjneq i|aij| , checamos
- Linha 1:
✓ - Linha 2:
✓ - Linha 3:
✓
Como todas satisfazem, o método de Jacobi vai convergir.
Passo 3
Isolando cada variável, temos as fórmulas iterativas:
Passo 4
Agora é só iterar até a diferença máxima entre iterações ficar abaixo de
x^(1) = (1,;1.2,;1.1) . Vamos numerar
x^(2) = l(0.99,;0.99,;1.02r) .
Começando em
x^(3) = l(1.003,;0.999,;1.001r) :
k=1:
k=1:
k=2:
k=3:
k=4:
(ainda acima de
).
Passo 5
k=5:
Parou aqui!
Resposta
O vetor solução aproximado, com
boxedx approx (0.99997,;1.00005,;0.99992)^T , é