Calcule a área da região limitada pela parábola x=8+2 y-y^2, o eixo dos y e as retas y=-1 e y=3. Resp. 923

Passo 1

Beleza, o enunciado quer a área da região que fica entre a parábola
x = 8 + 2y - y^2,
o eixo dos A = integraly=-1^y=3 l(função de x da direita - função de x da esquerdar),dy (ou seja ) e as linhas horizontais e .
Isso é um problema de Cálculo de áreas pelo método das casquinhas (integral em ).
A ideia geral é: a área vale
çãçã
Aqui a “direita” é a parábola e a “esquerda” é .

Passo 2

Primeiro a gente confere que, entre A = integral-1^3 (8 + 2y - y^2),dy e , a parábola fica mesmo à direita do eixo (isto é, ).
  • Em : .
  • Em : .
    Como não muda de sinal no intervalo, tá tudo certo: a área é

Passo 3

Agora, integramos termo a termo:
integral (8),dy = 8y, integral (2y),dy = y^2, integral (-y^2),dy = -y^33
Então
A = l[,8y + y^2 - tfracy^33r]y=-1^y=3
Vamos calcular:
  • Em A = 24 - l(-tfrac203r) = 24 + tfrac203 = tfrac723 + tfrac203 = tfrac923 :
  • Em :
    Subtraindo:

Resposta

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