Usar a forma de Lagrange para obter um polinômio de grau <= 3 que interpole os pontos da tabela:
x 0 1 3 4
f(x) -5 1 25 55
Resp: P3(x)=x^3-2 x^2+7 x-5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a forma de Lagrange e achar um polinômio (0,,-5),(1,,1),(3,,25),(4,,55) de grau no máximo 3 que passe pelos pontos
Isso é um tópico de Interpolação de Polinômios, especificamente o método de Lagrange. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Saber a fórmula do polinômio de Lagrange.
  2. Construir cada polinômio base que zera em todos os pontos exceto no -ésimo.
  3. Combinar esses com os valores de e simplificar tudo.

Passo 2

Primeiro, a teoria do método de Lagrange:
Se você tem Pn(x) =sumi=0^n yi,Li(x), pontos Li(x) =prodsubstack0<= j<= njneq i x - xjxi - xj , o polinômio interpolador de grau é
onde
A ideia é que quando e , assim cada termo só “acende” no seu ponto.

Passo 3

Vamos montar os quatro L0(x) =(x-1)(x-3)(x-4)(0-1)(0-3)(0-4) =(x-1)(x-3)(x-4)(-1)(-3)(-4) =(x-1)(x-3)(x-4)-12 para L1(x) =(x-0)(x-3)(x-4)(1-0)(1-3)(1-4) =x(x-3)(x-4)1cdot(-2)cdot(-3) =x(x-3)(x-4)6 , L2(x) =(x-0)(x-1)(x-4)(3-0)(3-1)(3-4) =x(x-1)(x-4)3cdot2cdot(-1) =-x(x-1)(x-4)6 , L3(x) =(x-0)(x-1)(x-3)(4-0)(4-1)(4-3) =x(x-1)(x-3)4cdot3cdot1 =x(x-1)(x-3)12 , .
  1. , com :
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Passo 4

Agora, o polinômio P3(x) =-5,L0(x) +1cdot L1(x) +25,L2(x) +55,L3(x) é
P3(x) = x^3 ;-;2x^2;+;7x;-;5
Substituindo cada e mandando ver na distribuição e soma de termos (é só expandir e juntar termos semelhantes), a gente chega em:

Resposta

boxedP3(x) = x^3 - 2,x^2 + 7,x - 5

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