Calcule a integral definida usando os resultados:
  • integral-1^2 x^2 d x=3;
  • integral-1^2 x d x=32
  • integral0^pi sin x d x=2.
    integral0^pi(2 sin x+3 cos x+1) d x Resp. 4+pi.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral
integral0^pi l(2sin x + 3cos x + 1r),dx
O conteúdo aqui é integrais definidas e a propriedade de linearidade (a soma dentro da integral pode ser separada em somas de integrais). Vamos precisar de:
  • a linearidade da integral,
  • a integral de sin x em [0,pi] (já dada: integral0^pisin x,dx=2),
  • a integral de cos x (usando antiderivada sin x),
  • e a integral de 1 (antiderivada x).

Passo 2

Pela linearidade, a gente separa a integral em três:
integral0^pi(2sin x + 3cos x + 1),dx =2integral0^pisin x,dx ;+;3integral0^picos x,dx;+;integral0^pi1,dx

Passo 3

Agora, vamos calcular cada pedacinho:
  1. 2integral0^pisin x,dx = 2cdot 2 = 4, porque já sabemos que integral0^pisin x,dx=2.
  2. 3integral0^picos x,dx. A antiderivada de cos x é sin x, então integral0^picos x,dx = sin x|0^pi = sin(pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0, e multiplicando por 3 dá 3cdot 0 = 0.
  3. integral0^pi1,dx. A antiderivada de 1 é x, então integral0^pi1,dx = x|0^pi = pi - 0 = pi

Passo 4

Agora é só somar tudo:
4 ;+; 0 ;+; pi ;=;4 + pi

Resposta

boxed4 + pi

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