Usar a resolução de um sistema linear para obter um polinômio de grau <= 2 que interpola os pontos da tabela:
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
Resp: P2(x)=1-73 x+23 x^2

Passo 1

Beleza, o exercício pede um polinômio de grau ≤ 2 que passe pelos pontos (–1, 4), (0, 1) e (2, –1). Isso é um caso de interpolação polinomial usando sistema linear: se a gente chamar o polinômio de
P(x)=a + b x + c x^2,
precisamos achar a,b,c resolvendo um sistema de 3 equações. Vou explicar do zero como montar e resolver esse sistema.

Passo 2

Montando o sistema: para cada ponto, basta substituir x e P(x)=f(x):
  1. Para x=-1, P(-1)=a - b + c = 4.
  2. Para x=0, P(0)=a = 1.
  3. Para x=2, P(2)=a + 2b + 4c = -1.
Então o sistema é
a - b + c = 4, a = 1, a + 2b + 4c = -1

Passo 3

Agora, vamos resolver por substituição:
– Da segunda equação já tiramos a=1.
– Substituindo em a - b + c = 4 temos
1 - b + c = 4 Longrightarrow -b + c = 3 Longrightarrow c = b + 3
– Substituindo a=1 e c=b+3 em a+2b+4c=-1
1 + 2b + 4(b+3) = -1 ;Longrightarrow; 1 + 2b + 4b +12 = -1 ;Longrightarrow; 6b +13 = -1 ;Longrightarrow; 6b = -14 ;Longrightarrow; b = -146 = -73
– Aí c = b+3 = -73 + 93 = 23.

Resposta

P2(x) = 1 - 73,x + 23,x^2

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