Calcule a área da região limitada pela parábola x=4-y^2 e o eixo dos y. Resp. 323

Passo 1

Beleza, a ideia é calcular a área da região limitada pela parábola
x = 4 - y^2
e pelo eixo . Isso cai em Cálculo I, tema “área por integrais definidas”.
O que vamos precisar:
  • Entender que a área entre uma curva e o eixo (ou ) é dada por .
  • Encontrar os limites de onde a parábola cruza o eixo .
  • Calcular uma integral definida e usar antiderivadas.

Passo 2

Primeiro, achamos onde a parábola intercepta o eixo 0 = 4 - y^2 ;Longrightarrow; y^2 = 4 ;Longrightarrow; y = pm 2 . No eixo A = integraly=-2^2 l(4 - y^2r),dy , , então:
Logo a região de vai de até .
A área é
Aqui usamos que a área sob a curva até o eixo vale .

Passo 3

Vamos calcular
integral-2^2 (4 - y^2),dy
  1. Encontre a antiderivada:
integral (4 - y^2),dy = 4y - y^33 + C
  1. Avalie de l[,4y - tfracy^33r]-2^2 = l(4cdot2 - tfrac2^33r) - l(4cdot(-2) - tfrac(-2)^33r) a A = tfrac163 - l(-tfrac163r) = tfrac323 :
Calculando cada parte:
  • Para :
  • Para :
    Então

Resposta

A área da região limitada pela parábola e o eixo é

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