Seja a função y=f(x) conhecida apenas nos pontos tabelados:
x 0 0,2 0,4 0,5
f(x) 0 2,008 4,064 5,125
Determinar o valor aproximado para f(0,3) aplicando-se a fórmula de Lagrange.
Resp: f(0,3) cong P3(0,3)=3,027

Passo 1

Beleza, amigo! A questão diz que a gente só conhece a função y=f(x) em quatro pontos:
(0,0),;(0,2,,2,008),;(0,4,,4,064),;(0,5,,5,125)
O conteúdo aqui é interpolação polinomial usando a fórmula de Lagrange. Nosso objetivo é montar um polinômio de grau até 3 que passa por esses quatro pontos e calcular nele o valor em x=0,3. Para isso, precisamos usar cada par (xi,f(xi)) e aplicar a fórmula de Lagrange.

Passo 2

A ideia da interpolação de Lagrange é construir
P3(x);=;sumi=0^3 f(xi),Li(x),
onde cada base Li(x) atende
Li(x);=;prodsubstackj=0jneq i^3x - xjxi - xj,
ou seja, Li(xi)=1 e Li(xj)=0 para jneq i. Aí basta avaliar P3(0,3).

Passo 3

Vamos calcular L0(0,3) e L1(0,3) e seus termos no polinômio:
  1. i=0:;x0=0,;f(x0)=0
    L0(0,3)=(0,3-0,2)(0,3-0,4)(0,3-0,5)(0-0,2)(0-0,4)(0-0,5) =0,1;times(-0,1);times(-0,2)(-0,2);times(-0,4);times(-0,5) =0,002-0,04=-0,05
    Termo: f(x0),L0(0,3)=0cdot(-0,05)=0.
  2. i=1:;x1=0,2,;f(x1)=2,008
    L1(0,3)=(0,3-0)(0,3-0,4)(0,3-0,5)(0,2-0)(0,2-0,4)(0,2-0,5) =0,3;times(-0,1);times(-0,2)0,2;times(-0,2);times(-0,3) =0,0060,012=0,5
    Termo: f(x1),L1(0,3)=2,008;times0,5=1,004.

Passo 4

Agora L2(0,3) e L3(0,3):
  1. i=2:;x2=0,4,;f(x2)=4,064
    L2(0,3)=(0,3-0)(0,3-0,2)(0,3-0,5)(0,4-0)(0,4-0,2)(0,4-0,5) =0,3;times0,1;times(-0,2)0,4;times0,2;times(-0,1) =-0,006-0,008=0,75
    Termo: 4,064times0,75=3,048.
  2. i=3:;x3=0,5,;f(x3)=5,125
    L3(0,3)=(0,3-0)(0,3-0,2)(0,3-0,4)(0,5-0)(0,5-0,2)(0,5-0,4) =0,3;times0,1;times(-0,1)0,5;times0,3;times0,1 =-0,0030,015=-0,2
    Termo: 5,125times(-0,2)=-1,025.

Passo 5

Agora soma tudo:
P3(0,3)=0 + 1,004 + 3,048 - 1,025 = 3,027

Resposta

f(0,3)approx P3(0,3)=3,027

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