Calcule a área da região compreendida entre
e
.
Passo 1
O enunciado pergunta: "Calcule a área da região compreendida entre
e
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- A curva
(uma parábola voltada para baixo, com vértice em ). - A reta
(reta de declive negativo, passa por ).
O que é pedido: - Determinar a área da região limitada por essas duas curvas (ou seja, a área do conjunto de pontos
que estão entre as duas curvas e dentro das interseções delas).
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas, porque a área entre curvas em geral é calculada entre as abscissas (valores de
) onde as curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões de
:
Reescrevendo em forma padrão:
Agora resolvemos essa equação quadrática. Ela fatoriza facilmente:
Portanto os pontos de interseção ocorrem em
Passo 3
Antes de montar o integral, precisamos saber qual função é a “superior” (maior
) e qual é a “inferior” no intervalo entre
e
. Uma forma simples é testar um ponto entre as abscissas, por exemplo
:
Como
, a parábola
está acima da reta
no intervalo entre
e
. Logo a área procurada é dada por integrar (função superior − função inferior) em
de
a
.
Explicação do método (curtinha e prática): a área entre duas curvas
(superior) e
(inferior) em um intervalo
é
pois para cada fatia vertical de largura
a altura dessa fatia é
.
Passo 4
Montando o integral com as funções dadas:
Agora vamos integrar termo a termo. Recordando a regra básica de integração (regra da potência):
para
, e integração de constantes
. Aplicando aqui:
Organizando numa antiderivada
:
Passo 5
Agora avaliamos a antiderivada nos limites
e
e calculamos a diferença
.
Calcule
:
Colocando em denominador comum:
Calcule
:
Colocando em denominador comum
:
Agora a área:
Colocando em denominador comum
:
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: a área é
. Faz sentido numericamente (é positiva) e foi obtida integrando a diferença entre a parábola (superior) e a reta (inferior) entre os pontos de interseção
e
. Boa! Conseguiu seguir até aqui — é exatamente o procedimento que costuma cair na prova.