Calcule a área da região compreendida entre y=2-x^{2} e y=-x.

Passo 1

O enunciado pergunta: "Calcule a área da região compreendida entre y=2-x^{2} e y=-x".
Informações dadas:
  • A curva y=2-x^{2} (uma parábola voltada para baixo, com vértice em (0,2)).
  • A reta y=-x (reta de declive negativo, passa por (0,0)).
    O que é pedido:
  • Determinar a área da região limitada por essas duas curvas (ou seja, a área do conjunto de pontos (x,y) que estão entre as duas curvas e dentro das interseções delas).

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas, porque a área entre curvas em geral é calculada entre as abscissas (valores de x) onde as curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões de y:
2 - x^{2} = -x.
Reescrevendo em forma padrão:
x^{2} - x - 2 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Ela fatoriza facilmente:
x^{2} - x - 2 = (x-2)(x+1)=0.
Portanto os pontos de interseção ocorrem em
x=-1 \quad\text{e}\quad x=2.

Passo 3

Antes de montar o integral, precisamos saber qual função é a “superior” (maior y) e qual é a “inferior” no intervalo entre x=-1 e x=2. Uma forma simples é testar um ponto entre as abscissas, por exemplo x=0:
\text{para }x=0:\quad y_{\text{parábola}}=2-0^{2}=2,\qquad y_{\text{reta}}=-0=0.á
Como 2>0, a parábola y=2-x^{2} está acima da reta y=-x no intervalo entre -1 e 2. Logo a área procurada é dada por integrar (função superior − função inferior) em x de -1 a 2.
Explicação do método (curtinha e prática): a área entre duas curvas y=f(x) (superior) e y=g(x) (inferior) em um intervalo [a,b] é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx,Á
pois para cada fatia vertical de largura dx a altura dessa fatia é f(x)-g(x).

Passo 4

Montando o integral com as funções dadas:
\text{Área}=\int_{-1}^{2}\big((2-x^{2})-(-x)\big)\,dx=\int_{-1}^{2}\big(2 - x^{2} + x\big)\,dx.Á
Agora vamos integrar termo a termo. Recordando a regra básica de integração (regra da potência): \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1, e integração de constantes \int c\,dx = c x. Aplicando aqui:
\int\big(2 - x^{2} + x\big)\,dx = \int 2\,dx - \int x^{2}\,dx + \int x\,dx = 2x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C.
Organizando numa antiderivada F(x):
F(x)=2x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}.

Passo 5

Agora avaliamos a antiderivada nos limites x=2 e x=-1 e calculamos a diferença F(2)-F(-1).
Calcule F(2):
F(2)=2\cdot 2 + \frac{2^{2}}{2} - \frac{2^{3}}{3}=4 + \frac{4}{2} - \frac{8}{3}=4 + 2 - \frac{8}{3}=6 - \frac{8}{3}.
Colocando em denominador comum:
6 - \frac{8}{3}=\frac{18}{3}-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}.
Calcule F(-1):
F(-1)=2\cdot(-1) + \frac{(-1)^{2}}{2} - \frac{(-1)^{3}}{3} = -2 + \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{3}\right) = -2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}.
Colocando em denominador comum 6:
-2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -2 + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = -2 + \frac{5}{6} = -\frac{12}{6} + \frac{5}{6} = -\frac{7}{6}.
Agora a área:
\text{Área}=F(2)-F(-1)=\frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}.Á
Colocando em denominador comum 6:
\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{20}{6}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: a área é \dfrac{9}{2}. Faz sentido numericamente (é positiva) e foi obtida integrando a diferença entre a parábola (superior) e a reta (inferior) entre os pontos de interseção x=-1 e x=2. Boa! Conseguiu seguir até aqui — é exatamente o procedimento que costuma cair na prova.

Resposta

\dfrac{9}{2}

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