Calcule cada integral a seguir:
.
Passo 1
Beleza, a gente precisa calcular a integral imprópria
Isso é parte de “integrais impróprias” e a gente vai usar uma substituição trigonométrica (x = tan θ) e também a identidade de
. Não se preocupe se isso soar meio estranho; vou explicar tudo do zero.
Passo 2
Primeiro, define a substituição
Por que isso ajuda? Porque
. Então o denominador
vira
.
Passo 3
Agora troca tudo na integral:
[
\frac{dx}{(x2+1)2}
\frac{\sec2\theta,d\theta}{\sec4\theta}
\frac{1}{\sec^2\theta},d\theta
\cos^2\theta,d\theta.
]
]
Precisamos também mudar os limites:
- Quando
, . - Quando
, .
Então a integral vira
Passo 4
Vamos integrar
. A identidade é
Então
[
\int \cos^2\theta,d\theta
\int \frac{1 + \cos(2\theta)}{2},d\theta
\frac{1}{2}\int 1,d\theta
+
\frac{1}{2}\int \cos(2\theta),d\theta.
]
+
\frac{1}{2}\int \cos(2\theta),d\theta.
]
Passo 5
Calculando as duas partes:
Logo a primitiva é
Agora avalia de
a
:
[
\Bigl[\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4}\Bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2}
\Bigl(\frac{\pi/2}{2} + 0\Bigr)
\Bigl(\frac{-\pi/2}{2} + 0\Bigr)
\frac{\pi}{4} - \bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)
\frac{\pi}{2}.
]
]