Calcule cada integral a seguir:
integral-infty^infty d x(x^2+1)^2.

Passo 1

Beleza, a gente precisa calcular a integral imprópria
integral-infty^infty dx(x^2+1)^2
Isso é parte de “integrais impróprias” e a gente vai usar uma substituição trigonométrica (x = tan θ) e também a identidade de . Não se preocupe se isso soar meio estranho; vou explicar tudo do zero.

Passo 2

Primeiro, define a substituição
x = tan theta Longrightarrow dx = sec^2 theta,dtheta
Por que isso ajuda? Porque . Então o denominador vira .

Passo 3

Agora troca tudo na integral:
[
\frac{dx}{(x2+1)2}

\frac{\sec2\theta,d\theta}{\sec4\theta}

\frac{1}{\sec^2\theta},d\theta

\cos^2\theta,d\theta.
]
Precisamos também mudar os limites:
  • Quando dx(x^2+1)^2 = sec^2theta,dthetasec^4theta = 1sec^2theta,dtheta = cos^2theta,dtheta , integral-pi/2^pi/2 cos^2theta,dtheta .
  • Quando , .
Então a integral vira

Passo 4

Vamos integrar cos^2theta = 1 + cos(2theta)2 . A identidade é
integral cos^2theta,dtheta = integral 1 + cos(2theta)2,dtheta = 12integral 1,dtheta + 12integral cos(2theta),dtheta
Então
[
\int \cos^2\theta,d\theta

\int \frac{1 + \cos(2\theta)}{2},d\theta

\frac{1}{2}\int 1,d\theta
+
\frac{1}{2}\int \cos(2\theta),d\theta.
]

Passo 5

Calculando as duas partes:
12integral 1,dtheta = theta2, 12integral cos(2theta),dtheta = 12cdotsin(2theta)2 = sin(2theta)4
Logo a primitiva é
theta2 + sin(2theta)4
Agora avalia de l[theta2 + sin(2theta)4r]-pi/2^pi/2 = l(pi/22 + 0r) - l(-pi/22 + 0r) = pi4 - l(-tfracpi4r) = pi2 a :
[
\Bigl[\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4}\Bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2}

\Bigl(\frac{\pi/2}{2} + 0\Bigr)

\Bigl(\frac{-\pi/2}{2} + 0\Bigr)

\frac{\pi}{4} - \bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)

\frac{\pi}{2}.
]

Resposta

boxedintegral-infty^infty dx(x^2+1)^2 = pi2

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