Determine a expansão de Laurent de cada função em torno de cada singularidade:
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar a expansão de Laurent da função
em torno de cada singularidade. Aqui a única singularidade é em
, pois
vira essencial lá.
Matéria envolvida: séries de Taylor/Maclaurin e definição de série de Laurent.
O que vamos precisar: a série de Maclaurin de e como trocar
por
, depois multiplicar por
.
Matéria envolvida: séries de Taylor/Maclaurin e definição de série de Laurent.
O que vamos precisar: a série de Maclaurin de
Passo 2
Primeiro, lembra da série de Maclaurin (expansão em potências de
) para
:
Isso significa que, pra valores de
“pequenos”, você pode escrever
como soma infinita de potências pares de
. Cada termo é
.
Passo 3
Agora, na nossa função aparece
. Basta substituir
na série:
Passo 4
Por fim, a função é
. Multiplicamos a série acima por
:
Isso já é uma série de Laurent, pois para
grande o expoente
fica negativo — típico de Laurent perto de
.
Resposta
A expansão de Laurent de
em torno da singularidade
é