Determine a expansão de Laurent de cada função em torno de cada singularidade:
f(z)=z^5 cos (1z).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a expansão de Laurent da função
f(z) = z^5cosl(1zr)
em torno de cada singularidade. Aqui a única singularidade é em , pois vira essencial lá.
Matéria envolvida: séries de Taylor/Maclaurin e definição de série de Laurent.
O que vamos precisar: a série de Maclaurin de e como trocar por , depois multiplicar por .

Passo 2

Primeiro, lembra da série de Maclaurin (expansão em potências de cos x = sumn=0^infty (-1)^n(2n)!;x^2n ) para
:
Isso significa que, pra valores de “pequenos”, você pode escrever como soma infinita de potências pares de . Cada termo é .

Passo 3

Agora, na nossa função aparece cos!l(tfrac1zr) = sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,l(tfrac1zr)^2n = sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,1z^2n . Basta substituir na série:

Passo 4

Por fim, a função é f(z) = z^5 sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,1z^2n = sumn=0^infty(-1)^n(2n)!;z^5-2n . Multiplicamos a série acima por :
Isso já é uma série de Laurent, pois para grande o expoente fica negativo — típico de Laurent perto de .

Resposta

A expansão de Laurent de boxed f(z)=sumn=0^infty(-1)^n(2n)!;z^5-2n em torno da singularidade é

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