Determine a expansão de Laurent de cada função em torno de cada singularidade:
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar a expansão de Laurent da função
em torno das suas singularidades. Isso é conteúdo de séries de Taylor e Laurent: a gente vai usar a expansão da exponencial
e, no nosso caso, tomar
.
Passo 2
Primeiro, identificar as singularidades de
. O único ponto problemático é
, pois ali
tem um polo de ordem infinita (singularidade essencial). Então vamos expandir em torno de
usando a definição de série de Laurent.
Passo 3
Escrevendo a exponencial em série com
, temos
Isso vem diretamente de
Passo 4
Agora multiplicamos termo a termo por
:
Cada termo é bem definido, e para
aparecem potências negativas de
, o que caracteriza a parte principal da série de Laurent.
Passo 5
Se você quiser escrever de outra forma, pode reindexar colocando
, daí
e
, o que dá
Resposta
A expansão de Laurent de
em torno da singularidade
$$\boxed{f(z)=\sum_{k=0}{\infty}\frac{z{5-k}}{k!}
;=;z5+z4+\frac{z3}{2!}+\frac{z2}{3!}+\frac{z}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!,z}+\frac{1}{7!,z^2}+\cdots,.}$$