Determine a expansão de Laurent de cada função em torno de cada singularidade:
f(z)=z^5 exp (1z).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a expansão de Laurent da função
f(z)=z^5exp!l(tfrac1zr)
em torno das suas singularidades. Isso é conteúdo de séries de Taylor e Laurent: a gente vai usar a expansão da exponencial
exp(w)=sumk=0^inftyw^kk!
e, no nosso caso, tomar w=1/z.

Passo 2

Primeiro, identificar as singularidades de f(z). O único ponto problemático é z=0, pois ali exp(1/z) tem um polo de ordem infinita (singularidade essencial). Então vamos expandir em torno de z=0, usando a definição de série de Laurent.

Passo 3

Escrevendo a exponencial em série com w=1/z, temos
exp!l(tfrac1zr)=sumk=0^infty1k!,1z^k,
Isso vem diretamente de exp(w)=sumk=0^infty w^k/k!.

Passo 4

Agora multiplicamos termo a termo por z^5:
f(z)=z^5exp!l(tfrac1zr) =;z^5sumk=0^infty1k!,1z^k =sumk=0^inftyz^5-kk!,
Cada termo é bem definido, e para k>5 aparecem potências negativas de z, o que caracteriza a parte principal da série de Laurent.

Passo 5

Se você quiser escrever de outra forma, pode reindexar colocando m=5-k, daí k=5-m e k!=(5-m)!, o que dá
f(z)=summ=-infty^5z^m(5-m)!,

Resposta

A expansão de Laurent de
f(z)=z^5exp!l(tfrac1zr)
em torno da singularidade z=0 é
$$\boxed{f(z)=\sum_{k=0}{\infty}\frac{z{5-k}}{k!}
;=;z5+z4+\frac{z3}{2!}+\frac{z2}{3!}+\frac{z}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!,z}+\frac{1}{7!,z^2}+\cdots,.}$$

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