Calcule cada integral a seguir:
integral-infty^infty x^2(x^2+1)^3 d x.

Passo 1

Beleza, o problema pede:
Calcular a integral imprópria
integral-infty^infty x^2(x^2+1)^3,dx
Isso é cálculo de integrais impróprias, envolve reconhecer funções pares e usar substituição trigonométrica (e depois fórmula de redução de potências de seno e cosseno). Vamos precisar de:
  • Saber que se é par ( ) então .
  • A substituição para simplificar .
  • A fórmula de redução de potência:
    .

Passo 2

Primeiro, note que
f(x)=x^2(x^2+1)^3
é uma função par, porque trocar integral-infty^infty x^2(x^2+1)^3,dx =2integral0^infty x^2(x^2+1)^3,dx por não muda nada. Logo

Passo 3

Agora faz a substituição trigonométrica
x = tantheta, dx = sec^2theta,dtheta,
com x^2+1 = tan^2theta+1 = sec^2theta de x^2(x^2+1)^3,dx = tan^2theta(sec^2theta)^3,sec^2theta,dtheta = tan^2thetasec^4theta,dtheta = tan^2thetacos^4theta,dtheta = sin^2thetacos^2theta,dtheta a 2integral0^inftyx^2(x^2+1)^3,dx =2integral0^pi/2sin^2thetacos^2theta,dtheta . Observe que
Então o integrando vira
Logo

Passo 4

Para integrar sin^2thetacos^2theta =1-cos(2theta)2;times;1+cos(2theta)2 =1-cos^2(2theta)4 =sin^2(2theta)4 , usamos redução de potência:
integral0^pi/2sin^2thetacos^2theta,dtheta =integral0^pi/2sin^2(2theta)4,dtheta =14integral0^pi/2sin^2(2theta),dtheta
Então
sin^2(2theta)=1-cos(4theta)2
E outra vez redução de potência para 14integral0^pi/2sin^2(2theta),dtheta =14cdot12integral0^pi/2l(1-cos(4theta)r),dtheta =18l[theta-sin(4theta)4r]0^pi/2 =18cdotpi2 =pi16 :
2integral0^inftyx^2(x^2+1)^3,dx =2cdotpi16 =pi8
Então
Multiplicando pelo 2 que tínhamos lá em cima:

Resposta

boxedpi8

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