Calcule cada integral a seguir:
integral-infty^infty d x(x^2+1)^4.

Passo 1

Resumo do problema: a gente quer calcular
integral-infty^inftydx(x^2+1)^4
Conteúdo: integrais impróprias de função par, substituição trigonométrica e fórmula de redução para potências de cosseno. Vamos precisar usar que a função é par (pra simplificar o intervalo), a substituição e o método de redução em .

Passo 2

Como integral-infty^inftydx(x^2+1)^4 =2integral0^inftydx(x^2+1)^4 é função par ( ), dá pra escrever

Passo 3

Fazemos a substituição trigonométrica
x=tantheta, dx=sec^2theta,dtheta, 1+x^2=sec^2theta
Isso transforma os limites dx(1+x^2)^4 =sec^2theta,dtheta(sec^2theta)^4 =sec^2thetasec^8theta,dtheta =cos^6theta,dtheta e integral0^inftydx(1+x^2)^4 =integral0^pi/2cos^6theta,dtheta .
No integrando:
Logo

Passo 4

Agora usamos a fórmula de redução para In=n-1n,In-2, I0=pi2 :
I6=56I4, I4=34I2, I2=12I0
Calculando passo a passo:
I2=12cdotpi2=pi4, I4=34cdotpi4=3pi16, I6=56cdot3pi16=15pi96=5pi32
Como , temos

Passo 5

Voltando:
integral-infty^inftydx(x^2+1)^4 =2integral0^inftydx(1+x^2)^4 =2cdot I6 =2cdot5pi32 =5pi16

Resposta

boxed5pi16

Exercícios relacionados