Calcule cada integral a seguir:
integral-infty^infty x^2 d x(x^2+1)(x^2+4).

Passo 1

Beleza, olha o que a gente tem:
Calcular a integral imprópria
integral-infty^infty x^2,dx(x^2+1)(x^2+4)
Conteúdo:
  • Propriedade de função par e integral imprópria.
  • Técnica de decomposição em frações parciais.
  • Fórmula padrão
    .
A gente vai usar tudo isso passo a passo, sem pular nada.

Passo 2

Primeiro, percebe que o integrando
integral-infty^inftyf(x),dx =2integral0^inftyf(x),dx
é uma função par, ou seja, .
Isso permite escrever
Fica mais simpático trabalhar só de a .

Passo 3

Agora a gente faz a decomposição em frações parciais. Queremos achar x^2(x^2+1)(x^2+4) =Ax^2+1+Bx^2+4 e x^2=A(x^2+4)+B(x^2+1) =(A+B),x^2+(4A+B) tais que
A+B=1, 4A+B=0
Multiplicando ambos os lados por x^2(x^2+1)(x^2+4) =-1/3x^2+1+4/3x^2+4 , dá
Igualando coeficientes:
Resolvendo:
  • Da segunda, .
  • Substituindo em : .
  • Então .
Logo

Passo 4

Volta à integral de 2integral0^inftyl(-tfrac131x^2+1+tfrac431x^2+4r)dx =2l(-tfrac13integral0^inftydxx^2+1 +tfrac43integral0^inftydxx^2+4r) a 2l(-tfrac13cdotpi2+tfrac43cdotpi4r) =2l(-pi6+pi3r) =2cdotpi6 =pi3 :
Agora usamos a fórmula
.
  • Para : .
  • Para : .
Substituindo:

Resposta

boxedpi3

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