Calcule cada integral a seguir:
integral-infty^infty x d x(x^2+1)(x^2+2 x+2).

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral imprópria
integral-infty^infty x,dx(x^2+1)(x^2+2x+2)
O conteúdo da matéria envolve:
  1. Integrais impróprias (limites no infinito)
  2. Decomposição em frações parciais de funções racionais
  3. Propriedades de funções ímpares/par e integrais conhecidas como
    .
    Vamos usar tudo isso pra resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, a gente faz a decomposição em frações parciais. Note que
x^2+2x+2=(x+1)^2+1
Queremos escrever
x(x^2+1)((x+1)^2+1) =Ax+Bx^2+1+Cx+D(x+1)^2+1
Multiplicando pelos denominadores e igualando coeficientes, obtemos o sistema
A+C=0, 2A+B+D=0, 2A+2B+C=1, 2B+D=0
Resolvendo, achamos
A=tfrac15, B=tfrac25, C=-tfrac15, D=-tfrac45
Logo
x(x^2+1)((x+1)^2+1) =tfrac15 x+tfrac25x^2+1 +-tfrac15 x-tfrac45(x+1)^2+1

Passo 3

Agora separamos a integral original em quatro pedaços:
I₁= integral-infty^inftyx,dx(x+1)^2+1 =integral-infty^inftyu-1u^2+1,du =integraluu^2+1du-integral1u^2+1du ,
I₂= ,
I₃= ,
I₄= .
  1. I₁: como é função ímpar e o intervalo é simétrico, I₁=0.
  2. I₂: é
  3. I₃: fazemos a troca , então . A parte com anula por ser ímpar, e a outra dá .
    Logo esse integral é , e I₃= ( )= .
  4. I₄: de novo troca , fica

Passo 4

Somando tudo:
0 + 2pi5 + pi5 - 4pi5 =2pi+pi-4pi5=-pi5

Resposta

boxed-pi5

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