Calcule cada integral a seguir:
integral0^infty x^2 d x(x^2+1)^2.

Passo 1

Então, joga aí o que a gente tem: precisamos calcular a integral imprópria
integral0^infty x^2(x^2+1)^2,dx
Conteúdo: é uma integral imprópria (limite em ∞) e a gente vai usar manipulação algébrica (decomposição) + resultados de integrais básicas (como e ).

Passo 2

Primeiro, observa que
x^2(x^2+1)^2 =x^2+1-1(x^2+1)^2 =x^2+1(x^2+1)^2-1(x^2+1)^2 =1x^2+1-1(x^2+1)^2
Ou seja, a integral vira a diferença de duas integrais mais simples:
I=integral0^inftyx^2(x^2+1)^2,dx =underbraceintegral0^inftydxx^2+1I1 ;-; underbraceintegral0^inftydx(x^2+1)^2I2

Passo 3

Vamos calcular I2=integral0^inftydx(x^2+1)^2 =pi4cdot1^3 =pi4 e separadamente.
Teoria usada:
  • (é uma fórmula padrão para integrais do tipo ). Aqui , então

Passo 4

Agora é só fazer a diferença:
I = I1-I2 =pi2-pi4 =pi4

Resposta

boxedpi4

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