Calcule cada integral a seguir:
integral-infty^infty d xx^2+2 x+2.

Passo 1

Então, o exercício pede para calcular a integral imprópria
integral-infty^infty dxx^2 + 2x + 2
Isso é conteúdo de Cálculo (integrais impróprias e técnicas de integração). Para resolver, vamos precisar de:
  1. Completar o quadrado no denominador;
  2. Usar a fórmula básica
    ;
  3. Tratar os limites e .

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado em x^2+2x+2 = (x^2+2x+1) + 1 = (x+1)^2 + 1 .
Isso simplifica o integrando para .

Passo 3

Fazemos a troca de variável para deixar no formato integral-infty^infty dx(x+1)^2+1 = integral-infty^infty duu^2+1 .
Seja .
Então , e quando , ; quando , .
A integral vira

Passo 4

Agora usamos a fórmula
integral-infty^infty duu^2+1 = limAto+inftyl[arctan(u)r]-A^A = limAto+inftyl(arctan(A)-arctan(-A)r) .
Como é imprópria, avaliamos o limite:

Passo 5

Lembrando que arctan(A)-arctan(-A) ;xrightarrow[Atoinfty]; pi2 - l(-pi2r) = pi e ,
temos

Resposta

Exercícios relacionados