Calcule cada integral a seguir:
integral-infty^infty x^2+1x^4+1 d x.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente calcular a integral imprópria
integral-infty^infty x^2+1x^4+1,dx
Aqui a matéria é “Integrais impróprias” e “função par” (pra estender a integral de integral0^inftydxx^4+1 a ), além de usar resultado padrão de

Passo 2

Primeiro, percebemos que integral-infty^inftyf(x),dx ;=; 2integral0^inftyf(x),dx é uma função par, isto é, integral-infty^inftyx^2+1x^4+1,dx = 2integral0^inftyx^2+1x^4+1,dx .
Uma propriedade legal é
Então reescrevemos nossa integral como

Passo 3

Dentro de integral0^inftyx^2+1x^4+1,dx =integral0^inftyx^2x^4+1,dx +integral0^infty1x^4+1,dx a gente separa:

Passo 4

Agora um truquezinho esperto: usamos a substituição I1 = integral0^inftyx^2x^4+1,dx na primeira integral
I1 =integralinfty^01u^21u^4+1,l(-duu^2r) =integral0^infty1u^4+1,du =integral0^infty1x^4+1,dx
Fazendo integral0^inftyx^2x^4+1,dx =integral0^infty1x^4+1,dx , , e quando vai de a , vai de a . Dá
Ou seja,

Passo 5

Denotando
I0 = integral0^infty1x^4+1,dx,
temos então
integral0^inftyx^2+1x^4+1,dx = I1 + I0 = I0 + I0 = 2,I0
Resta lembrar um resultado clássico (que se obtém por frações parciais e mudança para forma “ I0 = integral0^inftydxx^4+1 = pi2raiz2 ” e depois arctan):

Passo 6

Juntando tudo:
integral-infty^inftyx^2+1x^4+1,dx = 2integral0^inftyx^2+1x^4+1,dx = 2cdotl(2,I0r) = 4,I0 = 4cdotpi2raiz2 = 4pi2raiz2 = 2piraiz2 = raiz2,pi

Resposta

boxedintegral-infty^inftyx^2+1x^4+1,dx = raiz2,pi

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