Calcule cada integral a seguir:
.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente calcular a integral imprópria
Aqui a matéria é “Integrais impróprias” e “função par” (pra estender a integral de
a
), além de usar resultado padrão de
Passo 2
Primeiro, percebemos que
é uma função par, isto é,
.
Uma propriedade legal é
Uma propriedade legal é
Então reescrevemos nossa integral como
Passo 3
Dentro de
a gente separa:
Passo 4
Agora um truquezinho esperto: usamos a substituição
na primeira integral
Fazendo
,
, e quando
vai de
a
,
vai de
a
. Dá
Ou seja,
Passo 5
Denotando
temos então
Resta lembrar um resultado clássico (que se obtém por frações parciais e mudança para forma “
” e depois arctan):
Passo 6
Juntando tudo: